Ateneo - UPO

Insiemi, funzioni, limiti per funzioni reali di una variabile reale, continuità, calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale.

Testo consigliato per la teoria:
Bramanti, Pagani, Salsa, “Analisi Matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare”, Ed. Zanichelli.
In alternativa: Bramanti, Pagani, Salsa, “Analisi Matematica 1”, Ed. Zanichelli.
Testo consigliato per gli esercizi:
Salsa, Squellati: "Esercizi di Analisi Matematica 1", Ed. Zanichelli.

Acquisizione delle nozioni di base del calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali di una variabile reale. Capacità di collegare tra loro queste nozioni e di sfruttarle nella risoluzione di problemi semplici.

Nozioni di base dell'algebra e della trigonometria.

Il corso è organizzato per specifiche lezioni frontali, che copriranno sia la teoria che gli esercizi. In entrambe le situazioni si ricercherà la partecipazione attiva e l'interazione di e con gli studenti, anche tramite domande mirate sugli argomenti correnti.

Oltre ai libri suggeriti per la teoria e gli esercizi, ulteriore materiale per la preparazione dell'esame verrà fornito durante lo svolgimento del corso.

L'esame è costituito da una prova scritta e da un successiva prova orale. La prova scritta di solito è costituita da 4-6 esercizi su diversi argomenti del corso. In ogni prova scritta, la maggior parte degli argomenti contenuti nel corso viene coperta. La presenza di domande sulla parte teorica non è esclusa. L'esame orale è costituito da domande preliminari sulle nozioni di base della matematica e sulle funzioni elementari, da una discussione sugli esercizi contenuti nella prova scritta e da alcune domande finali sugli enunciati e le dimostrazioni dei principali risultati teorici. L'ammissione alla prova orale è subordinata al superamento della prova scritta con un voto maggiore o uguale a 16/30; il voto conclusivo sarà ottenuto avendo come punto di partenza il voto della prova scritta al quale si aggiungeranno o sottrarranno punti in base all'andamento della prova orale. Il superamento della prova scritta, anche con il massimo dei voti, non garantisce il superamento dell'esame in caso di prova orale insufficiente.

Insiemi, operazioni insiemistiche; funzioni, composizione di funzioni, iniettività, suriettività, biunivocità, invertibilità, cardinalità di un insieme.
Limite di una funzione reale di una variabile reale; limiti destro e sinistro; limiti e operazioni algebriche; Teorema dei due carabinieri; Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone; Teorema di cambiamento di variabile per i limiti. Continuità per funzioni reali di una variabile reale; continuità e operazioni algebriche; continuità di funzioni composte; Teorema di permanenza del segno; Teorema di Weierstrass; Teorema degli zeri e dei valori intermedi; continuità della funzione inversa. Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale; derivate e operazioni
algebriche; derivata di una funzione composta; derivabilità della funzione inversa. Massimi e minimi relativi; monotonia di una funzione e segno della derivata prima; Teoremi di de l'Hopital; funzioni convesse e concave, punti di flesso e legame con il segno della derivata seconda.
Integrazione secondo Riemann; integrabilità di somme e prodotti di funzioni integrabili; Teorema della media; funzioni integrali; Teorema fondamentale del calcolo integrale; formule di integrazione per sostituzione e per parti.

Al termine del corso lo studente deve conoscere le nozioni di base dell'Analisi Matematica (funzioni in una variabile, limiti, derivate, integrali) e avere sviluppato una padronanza delle nozioni apprese che gli consenta di collegarle tra loro in autonomia e di utilizzarle congiuntamente nella risoluzione di semplici problemi teorici. Inoltre, lo studente deve essere in grado di spiegare chiaramente sia le nozioni stesse, sia il loro utilizzo in termini generali o nel caso specifico di un problema.