Ateneo - UPO

Il corso fornisce nozioni sull'analisi degli errori, l'aritmetica di macchina, metodi efficienti per la soluzione di sistemi di equazioni lineari. Il corso affronta anche le principali questioni relative all'approssimazione delle funzioni e all'integrazione numerica.

Appunti del docente caricati sulla piattaforma DIR.

L’insegnamento, corrispondente a 3 CFU, è svolto mediante attività didattica erogativa (DE) attraverso lezioni frontali alla lavagna, si propone di fornire alle studentesse e agli studenti le conoscenze fondamentali dei principali metodi numerici di base e delle loro proprietà, con particolare riferimento alla soluzione di problemi matematici di interesse per la fisica applicata. Le lezioni saranno integrate da esercitazioni in laboratorio informatico (10 ore), durante le quali gli strumenti matematici introdotti verranno applicati direttamente mediante l’utilizzo di calcolatori.

Il corso mira a sviluppare la capacità di comprendere il significato degli algoritmi numerici introdotti, analizzarne l’accuratezza e valutarne l’efficacia in relazione al problema considerato. Le studentesse e gli studenti acquisiranno inoltre la capacità di utilizzare un linguaggio matematico appropriato nella descrizione dei metodi numerici e dei relativi risultati.

Al termine dell’insegnamento, la studentessa/lo studente sarà in grado di:

- comprendere i principi alla base dei principali metodi numerici per la soluzione di problemi matematici elementari;
- applicare correttamente algoritmi numerici di base per la risoluzione di problemi standard;
- analizzare l’errore di approssimazione e valutare l’accuratezza dei risultati ottenuti;
- confrontare differenti approcci numerici in relazione alla precisione richiesta e al costo computazionale.

L’obiettivo formativo principale è fornire strumenti matematici e computazionali utili per affrontare in modo consapevole problemi quantitativi nell’ambito della fisica applicata, sviluppando capacità di analisi critica e di scelta del metodo più appropriato.

Conoscenza delle nozioni fondamentali acquisite nei corsi di matematica precedenti. In particolare, sono richieste conoscenze relative a: funzioni e successioni, limiti, calcolo differenziale in una variabile, sviluppi di Taylor, calcolo integrale in una variabile. Sono inoltre richieste conoscenze di base di algebra lineare, con particolare riferimento a spazi vettoriali, sistemi lineari e algebra delle matrici.

La didattica si svolgerà mediante lezioni frontali alla lavagna, finalizzate alla presentazione dei concetti teorici e dei metodi numerici oggetto del corso. Le lezioni saranno integrate da esercitazioni in laboratorio informatico, durante le quali gli strumenti matematici introdotti verranno applicati direttamente mediante l’utilizzo di calcolatori.

Le attività di laboratorio prevedono il coinvolgimento attivo delle studentesse e degli studenti, con l’obiettivo di consolidare la comprensione degli argomenti trattati, sviluppare capacità operative nell’implementazione degli algoritmi numerici e favorire l’analisi critica dei risultati ottenuti.

I concetti affrontati durante il corso saranno discussi e approfonditi collegialmente in aula e applicati nelle esercitazioni pratiche, al fine di stimolare l’autonomia di giudizio, la capacità di interpretazione dei risultati e l’utilizzo consapevole dei metodi numerici.

Frequenza: consigliata.

Le studentesse e gli studenti con disabilità o con Disturbi Specifici dell’Apprendimento (DSA) o con Bisogni Educativi Speciali (BES) possono richiedere servizi e strumenti specifici a loro dedicati rivolgendosi allo Staff Sviluppo e Coordinamento Carriere e Servizi alle Studentesse e agli Studenti e consultando la pagina dedicata del sito di Ateneo: https://uniupo.it/it/servizi/servizi-studentidisabili-e-dsa

Le studentesse e gli studenti con disabilità, DSA, BES, una volta preso contatto con lo Staff di Ateneo, possono contattare la/il docente titolare dell'insegnamento in relazione alla declinazione delle modalità di esame, in merito agli aspetti didattici.

L’esame consiste in una prova orale sugli argomenti trattati durante le lezioni teoriche e le attività pratiche svolte in laboratorio informatico.

Durante la prova orale, la studentessa/lo studente dovrà dimostrare di aver acquisito le conoscenze relative ai contenuti del corso, utilizzando strumenti matematici, linguaggio tecnico e terminologia appropriati. La prova potrà includere la discussione dei metodi numerici affrontati, delle loro proprietà, dell’analisi dell’errore e del condizionamento dei problemi, nonché degli aspetti relativi all’implementazione degli algoritmi nell’ambiente di calcolo Octave.

La valutazione dell’esame tiene conto del grado di comprensione dei concetti teorici, della capacità di applicare correttamente i metodi numerici acquisiti, dell’interpretazione dei risultati ottenuti e dell’autonomia nell’affrontare problemi nuovi.

Criteri di attribuzione del voto:

18–20/30: la studentessa/lo studente dimostra una conoscenza essenziale degli argomenti del corso e una comprensione di base dei principali metodi numerici. È in grado di descrivere le procedure fondamentali e applicarle a problemi standard, pur con possibili imprecisioni nella spiegazione dei passaggi o nell’interpretazione dei risultati.
21–23/30: la studentessa/lo studente possiede una conoscenza discreta dei contenuti, comprende il funzionamento degli algoritmi numerici e sa applicare correttamente i metodi introdotti, fornendo una descrizione adeguata delle procedure e dei risultati.
24–26/30: la studentessa/lo studente mostra una buona conoscenza degli argomenti, capacità di analizzare le caratteristiche dei metodi numerici, valutare l’errore e il condizionamento dei problemi, nonché interpretare criticamente i risultati ottenuti.
27–29/30: la studentessa/lo studente dimostra una conoscenza molto buona e approfondita dei contenuti, padronanza del linguaggio matematico, autonomia nell’analisi dei problemi e capacità di confrontare differenti approcci numerici in relazione all’accuratezza e al costo computazionale.
30/30 e lode: la studentessa/lo studente dimostra un’eccellente padronanza dei contenuti teorici e pratici del corso, capacità di contestualizzare i metodi numerici nell’ambito della fisica applicata, di scegliere autonomamente strategie risolutive adeguate e di discutere criticamente vantaggi, limiti e affidabilità delle soluzioni ottenute.

Il raggiungimento della sufficienza richiede la capacità di comprendere i concetti fondamentali e di applicare correttamente le metodologie numeriche introdotte durante il corso. Il conseguimento dell’eccellenza richiede, oltre alla correttezza tecnica, capacità di ragionamento autonomo, collegamento tra gli argomenti, valutazione critica dei risultati e capacità di contestualizzare gli strumenti numerici in problemi applicativi.

Poiché il corso costituisce un modulo dell’insegnamento Matematica III, la valutazione finale dell’insegnamento integrato viene stabilita collegialmente dai docenti dei diversi moduli, tenendo conto delle valutazioni conseguite nelle singole parti del corso.

La preparazione dell’esame si basa sulle dispense e sul materiale didattico fornito dal docente e reso disponibile sulla piattaforma DIR, che costituiscono il principale riferimento per gli argomenti trattati durante il corso. A supporto dello studio possono essere consultati testi universitari di calcolo numerico e analisi numerica indicati dal docente.

ANALISI DELL'ERRORE: errore assoluto ed errore relativo. Tipologie di errore. Numeri di macchina. Rappresentazione mediante troncamento ed arrotondamento. Precisione di macchina. Overflow ed Underflow. Aritmetica finita. Condizionamento di un problema. Condizionamento delle quattro operazioni algebriche fondamentali.
RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI: Casi semplici. Fattorizzazione LU: esistenza, unicità e costo computazionale. Pivoting. Condizionamento del problema. Sistemi lineari sovradeterminati: soluzione nel senso dei minimi quadrati, metodo delle equazioni normali e cenni sul metodo basato sulla fattorizzazione QR.
APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI: Interpolazione polinomiale: esistenza ed unicità del polinomio interpolante. Forma di Lagrange. Cenni sulla analisi dell'errore. Il metodo dei minimi quadrati nel discreto.
INTEGRAZIONE NUMERICA: Formule di quadratura di tipo interpolatorio. Formule di Newton-Cotes: il metodo dei trapezi ed il metodo di Simpson semplici. Analisi dell'errore. Grado di precisione di una formula di quadratura. Analisi del condizionamento di un integrale definito e di una formula di quadratura. Metodo dei trapezi e di Simpson compositi e relativa analisi dell'errore.
AMBIENTE DI CALCOLO OCTAVE: Definizione di variabili scalari, vettori e matrici. Tipo di una variabile. Operatore due punti. Sottovettori e sottomatrici. Operatori aritmetici, relazionali e logici. Espressioni. Principali funzioni built-in. M-files di tipo script. Comandi per l'input e l'output dei dati. Comandi per il controllo del flusso di esecuzione. M-files di tipo function: parametri di input e di output. Principali comandi per la grafica in 2D.

Al termine dell’insegnamento, grazie alle risorse didattiche messe a disposizione dal Corso di Studi (lezioni frontali, esercitazioni, attività di laboratorio informatico, materiale didattico ed esempi applicativi), la studentessa/lo studente avrà acquisito conoscenze e competenze fondamentali relative allo sviluppo, all’analisi e all’utilizzo di metodi numerici per la soluzione di problemi matematici di interesse per la fisica applicata.

- Conoscenza e capacità di comprensione

La studentessa/lo studente dovrà acquisire le tecniche fondamentali per lo sviluppo di metodi numerici e la conoscenza delle loro principali proprietà, con particolare riferimento all’analisi dell’errore, al condizionamento dei problemi, all’accuratezza dei risultati e agli aspetti computazionali degli algoritmi.

Livello di sufficienza: la studentessa/lo studente conosce i principi alla base dei principali metodi numerici trattati nel corso, comprende il significato delle approssimazioni introdotte e riconosce i principali fattori che influenzano accuratezza e affidabilità dei risultati numerici.

Livello avanzato: la studentessa/lo studente dimostra una comprensione approfondita dei metodi numerici studiati, è in grado di analizzarne proprietà, vantaggi e limiti, e comprende il ruolo dell’errore, del condizionamento e del costo computazionale nella scelta e nell’utilizzo degli algoritmi.

- Capacità di applicare conoscenza e comprensione

La studentessa/lo studente dovrà essere in grado di individuare e applicare metodi numerici appropriati per la risoluzione di specifici problemi, tenendo conto dell’accuratezza richiesta e delle risorse computazionali disponibili. Dovrà inoltre essere in grado di implementare gli algoritmi studiati, verificarne il corretto funzionamento e valutarne le prestazioni attraverso opportuni test numerici.

Livello di sufficienza: la studentessa/lo studente è in grado di applicare metodi numerici standard alla soluzione di problemi noti, implementare semplici algoritmi in ambiente di calcolo e verificare la correttezza dei risultati ottenuti attraverso confronti e analisi dell’errore.

Livello avanzato: la studentessa/lo studente è in grado di scegliere autonomamente il metodo numerico più adeguato al problema considerato, motivando la scelta sulla base di accuratezza, stabilità e costo computazionale. È inoltre in grado di analizzare criticamente i risultati delle simulazioni numeriche e di elaborare strategie risolutive per problemi nuovi.