Ateneo - UPO

Il corso tratta i principali argomenti dell'Algebra Lineare, di alcuni argomenti di base della Geometria Analitica nel piano e nello spazio, dell'Analisi Matematica per le funzioni di più variabili reali.
Più specificamente i principali argomenti sono i seguenti: spazi vettoriali e basi, matrici e operazioni tra matrici, rango di una matrice, determinante di una matrice quadrata, invertibilità di matrici quadrate e calcolo della matrice inversa, sistemi lineari e Teorema di Rouché-Capelli, prodotto scalare nello spazio euclideo n-dimensionale, prodotto Hermitiano per spazi vettoriali complessi, prodotto vettoriale nello spazio euclideo tridimensionale, applicazioni lineari tra spazi vettoriali astratti, autovalori e autovettori, diagonalizzazione di operatori simmetrici, elementi di topologia generale nello spazio euclideo n-dimensionale, limiti e continuità per funzioni di più variabili reali, derivazione parziale, integrazione multipla, integrali di linea e di superficie, forme differenziali e campi vettoriali, formule di Gauss-Green, della divergenza e del rotore, equazioni differenziali ordinarie lineari.

Testi consigliati:

(Modulo di Geometria)
- Bramanti, Pagani, Salsa, “Analisi Matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare”, Ed. Zanichelli, 2014.

(Modulo di Analisi II)
- F. Gazzola, "Analisi Matematica 2", Ed. Esculapio, 2022.
- M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, "Analisi Matematica 2", Ed. Zanichelli, 2009.
Per maggiori approfondimenti si segnala anche la recente edizione del seguente testo:
- C. D. Pagani, S. Salsa, "Analisi Matematica 2", Ed. Zanichelli, 2016.
Eserciziario:
- S. Salsa, A. Squellati, ”Esercizi di Analisi Matematica 2”, Ed. Zanichelli, 2011.

L'insegnamento si propone di consentire a coloro che frequentano il corso di acquisire quelle conoscenze di base dell'algebra lineare, della geometria analitica e dell'analisi matematica necessarie in tutti quegli ambiti applicativi che fanno utilizzo di strumenti matematici avanzati. In questo corso verranno fornite le nozioni di base del calcolo vettoriale e matriciale con applicazioni nell'ambito della geometria analitica nel piano e nello spazio
e del calcolo differenziale e integrale per le funzioni di più variabili reali.

E' richiesta la conoscenza delle nozioni e dei contenuti del corso di Matematica I sul calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di una variabile reale. In particolare, le persone che intendono frequentare il presente corso e superare il relativo esame, devono raggiungere i risultati di apprendimento attesi per il corso di Matematica I che richiamiamo qui di seguito:
- conoscere le nozioni di base dell'Analisi Matematica in una variabile reale (funzioni in una variabile, limiti, derivate, integrali);
- capacità di applicare conoscenza e comprensione: si deve avere sviluppato una padronanza delle nozioni apprese che consenta di collegarle tra loro in autonomia e di utilizzarle congiuntamente nella risoluzione di semplici problemi teorici;
- capacità di comunicare quanto si è appreso: si deve essere in grado di spiegare chiaramente sia le nozioni stesse, sia il loro utilizzo in termini generali o nel caso specifico di un problema.

Il corso è organizzato con lezioni frontali con parte teorica ed esercizi. Ogni argomento del corso viene introdotto per mezzo di una discussione generale che ha lo scopo di renderla il più possibile comprensibile. In un secondo momento vengono introdotte le nozioni di base di ciascun argomento; esse sono successivamente seguite da esempi con lo scopo di chiarirne il significato. Il terzo passo è dedicato agli enunciati dei principali teoremi e alle loro dimostrazioni. L'ultima parte è dedicata agli esercizi. La partecipazione attiva alle lezioni viene stimolata attraverso domande che si pongono anche l'obiettivo di comprendere il livello di difficoltà incontrato nel seguire le lezioni stesse. E' previsto l'utilizzo della piattaforma di ateneo www.dir.uniupo.it sulla quale è possibile consultare materiale didattico integrativo quali dispense, esercizi vari, testi di prove scritte passate.

Oltre ai libri suggeriti per la teoria, ulteriore materiale per la preparazione dell'esame verrà fornito durante lo svolgimento del corso. Esso è costituito principalmente dalle diapositive utilizzate durante lo svolgimento delle lezioni e dalle prove scritte degli anni precedenti.

Le persone con disabilità o con Disturbi Specifici dell’Apprendimento (DSA) o con Bisogni Educativi Speciali (BES) possono richiedere servizi e strumenti specifici a loro dedicati rivolgendosi allo Staff Sviluppo e Coordinamento Carriere e Servizi alle Studentesse e agli Studenti e consultando la pagina dedicata del sito di Ateneo: https://uniupo.it/it/servizi/servizi-studentesse-e-studenti-condizione-di-
disabilit%C3%A0-e-dsa
Le persone con disabilità, DSA, BES, una volta preso contatto con lo Staff di Ateneo, possono contattare la persona titolare dell'insegnamento in relazione alla declinazione delle modalità di esame, in merito agli aspetti didattici.

L'esame è costituito da una prova scritta e da una prova orale. La prova scritta è di solito costituita da 3 esercizi per ognuno dei due moduli su diversi argomenti del corso. E' consentito sostenere la prova scritta di un solo modulo alla volta. Riportiamo un elenco sintetico dei principali argomenti che possono comparire nei vari esercizi:
a) vettori, matrici e relative operazioni;
b) studio dell'invertibilità di una matrice e calcolo della matrice inversa;
c) determinazione del rango di una matrice;
d) studio dell'esistenza e dell'unicità delle soluzioni di sistemi lineari mediante l'utilizzo del Teorema di Rouché-Capelli;
e) calcolo delle soluzioni di un sistema lineare con metodi vari tra i quali la formula di Cramer;
f) esercizi su rette e piani nello spazio euclideo tridimensionale;
g) determinazione di autovalori e autovettori per operatori lineari e/o per le matrici ad essi associate;
h) studio della diagonalizzabilità di operatori lineari.
i) determinazione di punti stazionari e loro classificazione;
l) studio di forme differenziali e campi vettoriali, calcolo dei loro integrali di linea;
m) calcolo di integrali doppi e tripli;
n) calcolo dell'area di una superficie, integrali di superficie, flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie;
o) applicazione delle formule di Gauss-Green, della divergenza e del rotore al calcolo di integrali di linea e di superficie;
p) risoluzione di problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti.

Il punteggio attribuito a ciascun esercizio è variabile e dipende dalla tipologia dell'esercizio stesso e dalla sua difficoltà.
Tale punteggio viene riportato accanto al testo di ciascun esercizio.
L'ammissione alla prova orale per ciascun modulo è subordinata al raggiungimento di un risultato minimo nella prova scritta del corrispondente modulo.
La prova orale di ciascuno dei due moduli prevede una verifica sui seguenti punti:
a) comprensione degli eventuali errori commessi nella prova scritta;
b) trattazione di un argomento teorico a scelta;
c) ulteriore domanda su un argomento scelto dal docente.
Nel caso in cui le risposte ed il linguaggio utilizzato siano soddisfacenti, è possibile raggiungere una votazione finale superiore a quella conseguita nella prova scritta. In nessun caso il punteggio finale potrà essere superiore di oltre 7 punti rispetto a quello ottenuto nella prova scritta.
Non è escluso che il voto finale sia anche inferiore a quello della prova scritta; si precisa che nei casi in cui la prova orale non dovesse risultare soddisfacente l'esito complessivo del singolo modulo potrebbe essere considerato negativo.
Per il raggiungimento di un voto eccellente si richiede una notevole conoscenza degli argomenti teorici unita ad un'ottima dimestichezza nel calcolo.

L'intero esame di Matematica II si considererà superato soltanto quando gli esami di entrambi i moduli verranno superati. Il voto finale dell'intero esame di Matematica II verrà attribuito dopo una valutazione complessiva basata sui risultati ottenuti nei singoli moduli.

Il corso si propone di fornire le nozioni basilari del calcolo vettoriale e matriciale, e del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili reali. Riportiamo una sintesi dei principali argomenti che verranno trattati in questo corso (per maggiori dettagli si vedano i programmi estesi di ciascun modulo):
1. vettori geometrici nel piano e nello spazio, vettori di uno spazio vettoriale astratto sia reale che complesso;
2. matrici e operazioni tra matrici;
3. rango di una matrice e determinante di una matrice quadrata;
4. prodotto scalare, prodotto hermitiano, prodotto vettoriale, prodotto;
5. invertibilità di matrici quadrate e calcolo delle matrice inversa;
6. esistenza e unicità delle soluzioni di sistemi lineari, Teorema di Rouché-Capelli, formula di Cramer;
7. rette e piano nello spazio euclideo tridimensionale;
8. operatori lineari, autovalori e autovettori, diagonalizzazione di operatori lineari;
9. limiti e continuità per funzioni di più variabili reali;
10. derivazione parziale, differenziabilità, punti stazionari, punti di massimo e minimo relativi;
11. lunghezza di una curva, integrali di linea nel differenziale d'arco, integrale di linea di un campo vettoriale;
12. forme differenziali e campi vettoriali e relativi integrali di linea, forme differenziali chiuse ed esatte, campi vettoriali irrotazionali e conservativi;
13. integrazione multipla con particolare attenzione agli integrali doppi e tripli, formule di riduzione per gli integrali multipli, formula di cambiamento di variabili;
14. calcolo dell'area di una superficie, integrali superficie, flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie;
15. formule di Gauss-Green, della divergenza, del rotore e loro applicazioni al calcolo di integrali di linea e di superficie;
16. equazioni differenziali ordinarie lineari con particolare attenzione per quelle a coefficienti costanti.

Al fine di raggiungere le conoscenze e le competenze corrispondenti al livello minimo di sufficienza si chiede di dimostrare:

(Conoscenze)

- conoscere le principali nozioni su vettori, matrici e relative operazioni;
- conoscere le principali nozioni riguardanti lo studio dei sistemi lineari;
- conoscere le principali nozioni sulla geometria analitica di rette e piani nello spazio euclideo tridimensionale;
- conoscere le principali nozioni su applicazioni lineari tra spazi vettoriali;
- conoscere le principali nozioni su autovalori, autovettori e diagonalizzabilità di operatori lineari;
- conoscere le principali nozioni su limiti e continuità per funzioni di più variabili reali;
- conoscere le principali nozioni del calcolo differenziale;
- conoscere le principali nozioni su forme differenziali e campi vettoriali;
- conoscere le principali nozioni sull'integrazione multipla, su integrali di linea e di superficie;
- conoscere le principali nozioni sulle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.

(Competenze)
- saper applicare le principali nozioni del calcolo vettoriale e matriciale;
- saper applicare le principali nozioni del calcolo differenziale ed integrale;
- essere in grado di riconoscere nel singolo ambito applicativo le corrette nozioni del calcolo vettoriale e matriciale e dell'analisi matematica che devono essere utilizzate nel contesto considerato.

(Abilità trasversali)
- essere in grado di utilizzare il corretto linguaggio matematico all'interno di un progetto applicato;
- essere in grado di comprendere da fonti, quali ad esempio libri di testo e articoli, il significato profondo di quanto si stia leggendo anche quando in esse viene utilizzato un linguaggio matematico avanzato.
Conseguimento di un livello avanzato: si deve essere in grado di dimostrare una notevole padronanza della materia studiata sia per quanto riguarda la capacità nella risoluzione di esercizi sia per quanto riguarda la conoscenza dei principali risultati teorici del calcolo vettoriale e matriciale, e dell'analisi matematica per le funzioni di più variabili reali.