Ateneo - UPO

Il corso tratta i principali argomenti dell'Analisi Matematica per le funzioni reali di una variabile reale. Più specificamente i principali argomenti sono i seguenti: insiemi, funzioni, limite per funzioni reali di una variabile reale, continuità, calcolo differenziale e integrale.

Bramanti, Pagani, Salsa, ``Analisi Matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare'', Ed. Zanichelli, 2014.

L'insegnamento si propone di consentire a coloro che frequentano il corso di acquisire quelle conoscenze di base dell'analisi matematica necessarie in tutti quegli ambiti applicativi che fanno utilizzo di strumenti matematici avanzati. In questo corso verranno fornite le nozioni di base del calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali di una variabile reale.

E' richiesta la conoscenza delle nozioni di base dell'algebra e della trigonometria.

Il corso è organizzato con lezioni frontali con parte teorica ed esercizi. Ogni argomento del corso viene introdotto per mezzo di una discussione generale che ha lo scopo di renderla il più possibile comprensibile. In un secondo momento vengono introdotte le nozioni di base di ciascun argomento; esse sono successivamente seguite da esempi con lo scopo di chiarirne il significato. Il terzo passo è dedicato agli enunciati dei principali teoremi e alle loro dimostrazioni. L'ultima parte è dedicata agli esercizi. La partecipazione attiva alle lezioni viene stimolata attraverso domande che si pongono anche l'obiettivo di comprendere il livello di difficoltà incontrato nel seguire le lezioni stesse. E' previsto l'utilizzo della piattaforma di ateneo www.dir.uniupo.it sulla quale è possibile consultare materiale didattico integrativo quali dispense, esercizi vari, testi di prove scritte passate.

Oltre ai libri suggeriti per la teoria, ulteriore materiale per la preparazione dell'esame verrà fornito durante lo svolgimento del corso. Esso è costituito principalmente dalle diapositive utilizzate durante lo svolgimento delle lezioni e dalle prove scritte degli anni precedenti.

Le persone con disabilità o con Disturbi Specifici dell’Apprendimento (DSA) o con Bisogni Educativi Speciali (BES) possono richiedere servizi e strumenti specifici a loro dedicati rivolgendosi allo Staff Sviluppo e Coordinamento Carriere e Servizi alle Studentesse e agli Studenti e consultando la pagina dedicata del sito di Ateneo: https://uniupo.it/it/servizi/servizi-studentesse-e-studenti-condizione-di-disabilit%C3%A0-e-dsa
Le persone con disabilità, DSA, BES, una volta preso contatto con lo Staff di Ateneo, possono contattare la persona titolare dell'insegnamento in relazione alla declinazione delle modalità di esame, in merito agli aspetti didattici.

L'esame è costituito da una prova scritta. La prova scritta è di solito costituita da 4-6 esercizi su diversi argomenti del corso e da una o più domande sulla parte teorica. I principali argomenti che possono comparire nei vari esercizi sono i seguenti:
a) calcolo di derivate;
b) calcolo di limiti;
c) calcolo di integrali e di primitive;
d) studio completo del grafico di una funzione;
e) studio di continuità e derivabilità di una funzione con eventuale classificazione di punti di discontinuità e non derivabilità;
f) calcolo di funzioni composte e di funzioni inverse;
g) esercizi su insiemi in campo reale con determinazione di estremo superiore e inferiore, massimo e minimo;
h) trattazione di un argomento teorico comprensivo di descrizione del suo significato e delle sue possibili applicazioni concrete, delle principali definizioni scritte in un linguaggio matematico corretto e rigoroso, di eventuali esempi ed infine dei principali risultati corredati dalle relative dimostrazioni.
Il punteggio attribuito a ciascun esercizio è variabile e dipende dalla tipologia dell'esercizio stesso e dalla sua difficoltà.
Tale punteggio viene riportato accanto al testo di ciascun esercizio.

Per il superamento dell'esame è richiesto il raggiungimento di un risultato minimo nella prova scritta. In alcune situazioni in cui non viene raggiunta la sufficienza piena nella prova scritta, è prevista una prova orale finale atta a valutare l'effettiva preparazione.
La prova orale è invece facoltativa per coloro che hanno già raggiunto la sufficienza piena nella prova scritta.
In tutti i casi la prova orale prevede una verifica sui seguenti punti:
a) comprensione degli eventuali errori commessi nella prova scritta;
b) trattazione di un argomento teorico a scelta;
c) ulteriore domanda facoltativa su un argomento scelto dal docente.
Nel caso in cui le risposte ed il linguaggio utilizzato siano soddisfacenti, è possibile raggiungere una votazione finale superiore a quella conseguita nella prova scritta. In nessun caso il punteggio finale potrà essere superiore di oltre 7 punti rispetto a quello ottenuto nella prova scritta.
Non è escluso che il voto finale sia anche inferiore a quello della prova scritta; in particolare, per i casi in cui la prova scritta non fosse stata pienamente sufficiente, una prova orale non soddisfacente comporterebbe il mancato superamento dell'esame.

Il raggiungimento di un voto eccellente richiede una notevole conoscenza degli argomenti unita ad un'ottima dimestichezza nel calcolo; inoltre, una soddisfacente trattazione dell'argomento teorico è un requisito pressoché obbligatorio per poter raggiungere l'eccellenza.

1. Nozioni di base della teoria degli insiemi e delle funzioni: insiemi, operazioni insiemistiche, funzioni, composizione di funzioni, iniettività, suriettività, biunivocità, invertibilità, cardinalità di un insieme.

2. Calcolo dei limiti: limite di una funzione reale di una variabile reale, limiti destro e sinistro, limiti e operazioni algebriche, Teorema dei due carabinieri, Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone, teorema di cambiamento di variabile per i limiti.

3. Continuità: continuità per funzioni reali di una variabile reale, continuità e operazioni algebriche, continuità di funzioni composte, Teorema di permanenza del segno, Teorema di Weierstrass, Teorema degli zeri e dei valori intermedi, continuità della funzione inversa.

4. Calcolo delle derivate e applicazioni: derivate e operazioni algebriche, derivata di una funzione composta, derivabilità della funzione inversa, massimi e minimi relativi, monotonia di una funzione e segno della derivata prima, Teoremi di de l'Hopital, funzioni convesse e concave, punti di flesso e legame con il segno della derivata seconda.

5. Integrazione secondo Riemann: integrabilità di somme e prodotti di funzioni integrabili, Teorema della media, funzioni integrali, Teorema fondamentale del calcolo integrale, formule di integrazione per sostituzione e per parti.

Al fine di raggiungere le conoscenze e le competenze corrispondenti al livello minimo di sufficienza si chiede di dimostrare:

(Conoscenze)

- conoscere le principali nozioni della teoria degli insiemi e delle funzioni;

- conoscere le principali funzioni elementari e nello specifico quelle goniometriche, esponenziali e logaritmiche;

- conoscere le principali nozioni ed i principali risultati del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni reali di una variabile reale.

(Competenze)

- saper applicare le principali nozioni del calcolo differenziale ed integrale;

- essere in grado di riconoscere nel singolo ambito applicativo la corretta nozione dell'analisi matematica che deve essere utilizzata nel contesto considerato.

(Abilità trasversali)

- essere in grado di utilizzare il corretto linguaggio matematico all'interno di un progetto applicato;

- essere in grado di comprendere da fonti, quali ad esempio libri di testo e articoli, il significato profondo di quanto si stia leggendo anche quando in esse viene utilizzato un linguaggio matematico avanzato.

Conseguimento di un livello avanzato: si deve essere in grado di dimostrare una notevole padronanza della materia studiata sia per quanto riguarda la capacità nella risoluzione di esercizi sia per quanto riguarda la conoscenza dei principali risultati teorici dell'analisi matematica.