Ateneo - UPO

Teoria elementare dei numeri. Alcune nozioni di base dell'algebra lineare.

Testi consigliati:
+ Bramanti, Pagani, Salsa, "Analisi Matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare", Ed. Zanichelli.
+ Appunti del docente caricati sulla piattaforma DIR.

L’insegnamento si propone di fornire alle studentesse e agli studenti le conoscenze fondamentali dell’algebra lineare e della teoria elementare dei numeri, introducendo concetti e metodi matematici essenziali per la formazione di base in Informatica. Il corso affronta gli elementi principali del calcolo vettoriale e matriciale, dei sistemi lineari, degli spazi vettoriali e delle trasformazioni lineari, insieme ai concetti fondamentali della teoria dei numeri, quali divisibilità, numeri primi, congruenze e aritmetica modulare. Al termine dell’insegnamento, le studentesse e gli studenti avranno acquisito la capacità di utilizzare un linguaggio matematico appropriato e di applicare gli strumenti algebrici introdotti per formalizzare e risolvere semplici problemi. L’obiettivo formativo dell’insegnamento è sviluppare capacità di astrazione, ragionamento logico e modellizzazione, fornendo agli studenti le basi matematiche necessarie per affrontare lo studio delle discipline informatiche successive e per comprendere l’utilizzo di strutture e metodi algebrici nella progettazione e nell’analisi di soluzioni computazionali.

Il modulo, pari a 6 CFU complessivi, è articolato in due componenti didattiche: 3 CFU dedicati all’Aritmetica Modulare e 3 CFU dedicati all’Algebra Lineare. La didattica erogativa si svolge mediante lezioni frontali alla lavagna, dedicate alla presentazione dei concetti teorici fondamentali, alla discussione dei principali risultati e allo svolgimento guidato di esempi ed esercizi applicativi. Lo svolgimento degli esercizi prevede il coinvolgimento attivo delle studentesse e degli studenti, attraverso la discussione dei procedimenti risolutivi, l’analisi critica delle strategie adottate e il confronto sulle diverse modalità di soluzione.

Conoscenze di base della matematica acquisite nella scuola secondaria superiore, con particolare riferimento alle proprietà fondamentali dei numeri interi, all’aritmetica, all’algebra elementare, alle equazioni e disequazioni, nonché alle proprietà di base del piano cartesiano e della geometria analitica. È richiesta la capacità di leggere e produrre brevi testi scritti in italiano e di comprendere semplici argomentazioni matematiche.

La didattica si svolgerà mediante lezioni frontali alla lavagna, comprensive di una parte teorica e di una parte dedicata alla discussione e allo svolgimento di esercizi. Ogni argomento del corso sarà introdotto attraverso una discussione generale finalizzata a favorire la comprensione intuitiva dei concetti e a evidenziarne il significato e le motivazioni. Successivamente saranno presentate le definizioni, i risultati fondamentali e gli strumenti metodologici propri di ciascun argomento, accompagnati da esempi volti a chiarirne l’applicazione e l’interpretazione. Parte delle lezioni sarà dedicata allo svolgimento di esercizi, proposti e discussi con il coinvolgimento attivo delle studentesse e degli studenti, al fine di sviluppare capacità di analisi, senso critico e autonomia nella risoluzione dei problemi.

Le studentesse e gli studenti con disabilità o con Disturbi Specifici dell’Apprendimento (DSA) o con Bisogni Educativi Speciali (BES) possono
richiedere servizi e strumenti specifici a loro dedicati rivolgendosi allo Staff Sviluppo e Coordinamento Carriere e Servizi alle Studentesse e agli Studenti e consultando la pagina dedicata del sito di Ateneo: https://uniupo.it/it/servizi/servizi-studentidisabili-e-dsa

Le studentesse e gli studenti con disabilità, DSA, BES, una volta preso contatto con lo Staff di Ateneo, possono contattare la/il docente titolare
dell'insegnamento in relazione alla declinazione delle modalità di esame, in merito agli aspetti didattici.

L’esame si compone di due prove scritte, ciascuna della durata di 30 minuti: una prova contenente esercizi relativi all’Aritmetica Modulare e una prova contenente esercizi relativi all’Algebra Lineare. Ciascuna prova riguarda la maggior parte degli argomenti trattati durante il corso e può essere sostenuta anche in appelli diversi, purché entro e non oltre dicembre 2027.

Durante lo svolgimento delle prove scritte è consentito esclusivamente l’uso della calcolatrice.

La prova di Algebra Lineare è costituita da due esercizi, ciascuno valutato 16 punti. La prova di Aritmetica Modulare è costituita da tre esercizi e un quiz; sul testo d’esame sono indicati i punteggi assegnati a ciascun esercizio. Le risposte errate al quiz non comportano penalizzazioni. Anche nel caso in cui un esercizio non sia svolto completamente in modo corretto, le parti corrette del procedimento saranno comunque valutate.

La sufficienza si raggiunge con una valutazione pari o superiore a 18/30. Tale valutazione corrisponde al raggiungimento degli obiettivi formativi minimi dell’insegnamento: lo/la studente/ssa dimostra una conoscenza essenziale degli argomenti fondamentali del corso ed è in grado di applicare i principali metodi e risultati introdotti alla risoluzione di problemi standard. Sono ammesse imprecisioni o errori di calcolo non sostanziali, purché il procedimento adottato evidenzi una comprensione adeguata dei concetti e una corretta impostazione del problema.

La valutazione compresa tra 18/30 e 20/30 indica una preparazione sufficiente, con una conoscenza di base degli argomenti e una capacità ancora limitata nell’applicazione autonoma dei metodi.

La valutazione compresa tra 21/30 e 24/30 indica una preparazione discreta: lo/la studente/ssa mostra una buona conoscenza dei contenuti, sa applicare correttamente le tecniche principali e affronta gli esercizi con una discreta autonomia.

La valutazione compresa tra 25/30 e 27/30 indica una preparazione buona o molto buona: lo/la studente/ssa dimostra padronanza degli argomenti trattati, capacità di collegamento tra concetti diversi e una buona autonomia nella risoluzione dei problemi.

La valutazione compresa tra 28/30 e 30/30 indica una preparazione eccellente: lo/la studente/ssa possiede una conoscenza approfondita degli argomenti, applica gli strumenti matematici con sicurezza e rigore, risolve gli esercizi in modo completo e utilizza un linguaggio matematico appropriato.

La lode può essere attribuita agli studenti che, oltre a raggiungere una valutazione di eccellenza, dimostrano particolare padronanza dei contenuti, capacità di ragionamento autonomo e chiarezza nell’esposizione.

In caso di situazioni dubbie o qualora la valutazione delle prove scritte non consenta di determinare con sufficiente chiarezza il livello di preparazione dello studente, il docente si riserva la possibilità di richiedere un colloquio orale integrativo, finalizzato a verificare la reale acquisizione delle conoscenze e delle competenze previste dagli obiettivi formativi dell’insegnamento.

Per il superamento dell’esame del modulo è necessario conseguire una valutazione sufficiente in entrambe le prove. La valutazione finale del modulo sarà definita collegialmente e condivisa tra i docenti delle parti di Aritmetica Modulare e di Algebra Lineare, tenendo conto degli esiti delle prove scritte e degli eventuali colloqui orali integrativi, nonché del livello complessivo di acquisizione delle conoscenze e delle competenze previste dagli obiettivi formativi dell’insegnamento.

Gli appunti delle lezioni e le dispense costituiscono il principale riferimento per la preparazione dell’esame; il libro di testo è consigliato come supporto per consolidare la comprensione degli argomenti e approfondire gli aspetti teorici.

Aritmetica Modulare:

Numeri interi.
Divisibilità e numeri primi.
Massimo comune divisore e algoritmo di Euclide.
Minimo comune multiplo.
Equazioni diofantee.
Congruenze e classi di resto.
Criteri di divisibilità.
Rappresentazione dei numeri in basi diverse dalla base dieci.
Teorema cinese del resto.
Condivisione di segreti mediante sistemi di congruenze.
Teorema di Eulero.
Problema del logaritmo discreto.
Protocollo di Diffie-Hellman.
Crittosistema RSA.

Algebra Lineare:

Matrici, determinanti, rango e matrice inversa.
Spazi vettoriali, basi e dipendenza lineare.
Applicazioni lineari e prodotto scalare.
Sistemi lineari.
Metodo di eliminazione di Gauss.
Applicazioni dell’algebra lineare ai sistemi lineari.

I risultati di apprendimento attesi sono coerenti con le finalità del Corso di Studi in Informatica, in quanto forniscono alle studentesse e agli studenti gli strumenti matematici di base necessari per comprendere, formalizzare e affrontare problemi di natura informatica. In particolare, le competenze acquisite in teoria elementare dei numeri e algebra lineare costituiscono un supporto fondamentale per lo studio di discipline successive del percorso formativo, quali algoritmi, crittografia, sicurezza informatica, elaborazione dei dati e altri ambiti applicativi in cui tali strumenti trovano diretto impiego.

+ Conoscenza e capacità di comprensione:

Al termine dell’insegnamento, le studentesse e gli studenti saranno in grado di:

- definire e descrivere i principali concetti della teoria elementare dei numeri, quali divisibilità, numeri primi, massimo comune divisore, congruenze, classi di resto;
- comprendere i principali risultati e metodi della teoria dei numeri trattati nel corso, inclusi l’algoritmo di Euclide, il teorema cinese del resto e il teorema di Eulero;
- descrivere i concetti fondamentali dell’algebra lineare, quali matrici, determinanti, rango, sistemi lineari, spazi vettoriali, basi e applicazioni lineari;
- riconoscere il ruolo di tali strumenti matematici nella modellizzazione e nella risoluzione di semplici problemi informatici.

Livello minimo di sufficienza: la studentessa/lo studente conosce le definizioni fondamentali, comprende il significato dei principali concetti introdotti ed è in grado di utilizzare una terminologia matematica di base corretta.

Livello avanzato: la studentessa/lo studente dimostra una comprensione approfondita degli strumenti matematici studiati, è in grado di stabilire collegamenti tra concetti diversi e di riconoscerne il ruolo in contesti applicativi propri dell’informatica.

+ Capacità di applicare conoscenza e comprensione:

Al termine dell’insegnamento, le studentesse e gli studenti saranno in grado di applicare i concetti e i metodi introdotti alla risoluzione di problemi matematici e informatici di base, in particolare:

- applicare algoritmi e risultati della teoria elementare dei numeri a problemi di aritmetica modulare e semplici schemi crittografici;
- risolvere sistemi lineari mediante metodi matriciali;
- utilizzare strumenti dell’algebra lineare per analizzare semplici strutture e modelli matematici;
- valutare l’appropriatezza di semplici algoritmi che fanno uso dei concetti studiati;
- comunicare in modo chiaro e sintetico i procedimenti adottati e i risultati ottenuti.

Livello minimo di sufficienza: la studentessa/lo studente è in grado di applicare i principali metodi presentati nel corso a problemi standard, impostando correttamente il procedimento risolutivo e interpretando il risultato ottenuto.

Livello avanzato: la studentessa/lo studente è in grado di scegliere autonomamente gli strumenti più adeguati alla soluzione di un problema, valutare criticamente metodi e algoritmi semplici e presentare soluzioni complete con adeguato rigore matematico.