Ateneo - UPO

Il corso fornisce nozioni sull'analisi degli errori, l'aritmetica di macchina, l'approssimazione numerica della soluzione di equazioni non lineari, metodi efficienti per la soluzione di sistemi di equazioni lineari. Il corso affronta anche le principali questioni relative all'approssimazione delle funzioni e all'integrazione numerica.

Appunti del docente caricati sulla piattaforma DIR.

L’insegnamento si propone di fornire alle studentesse e agli studenti le conoscenze fondamentali del calcolo numerico, introducendo metodi e algoritmi per la soluzione approssimata di problemi matematici mediante strumenti computazionali. Il corso affronta i principali aspetti dell’analisi degli errori, dell’aritmetica di macchina, del condizionamento e della stabilità numerica, fornendo gli strumenti necessari per comprendere l’affidabilità dei risultati prodotti dai calcolatori.

Il corso introduce inoltre metodi numerici per la soluzione di equazioni non lineari, sistemi di equazioni lineari, problemi di approssimazione di funzioni e integrazione numerica. Particolare attenzione è dedicata alla comprensione dei principi alla base degli algoritmi numerici, alla loro efficienza computazionale e alla scelta del metodo più appropriato in relazione al problema considerato.

L’insegnamento è articolato in 6 CFU complessivi, corrispondenti a 48 ore di attività didattica, così organizzate:

28 ore di didattica erogativa, dedicate alla presentazione dei concetti teorici fondamentali, alla derivazione e discussione dei metodi numerici e all’analisi delle proprietà degli algoritmi introdotti;
20 ore di didattica interattiva in laboratorio, dedicate all’applicazione dei metodi numerici mediante implementazione e utilizzo di strumenti computazionali. Le attività di laboratorio prevedono il coinvolgimento attivo delle studentesse e degli studenti nella progettazione, realizzazione, verifica e analisi critica di semplici algoritmi numerici.

Al termine dell’insegnamento, le studentesse e gli studenti avranno acquisito la capacità di comprendere e applicare metodi numerici di base, valutare l’accuratezza e l’affidabilità delle soluzioni ottenute, analizzare il comportamento degli algoritmi e utilizzare strumenti computazionali per affrontare semplici problemi di calcolo scientifico.

L’obiettivo formativo dell’insegnamento è sviluppare capacità di modellizzazione numerica, ragionamento algoritmico e analisi critica dei risultati computazionali, fornendo competenze rilevanti per il percorso formativo in Informatica e per lo studio e l’applicazione di metodi computazionali in ambiti quali simulazione, elaborazione dei dati, ottimizzazione e calcolo scientifico.

È richiesta la conoscenza delle nozioni fondamentali di matematica acquisite negli insegnamenti di base del percorso di studi, con particolare riferimento a:

- algebra elementare;
- funzioni reali di una variabile reale;
- concetti fondamentali di limite, continuità e derivabilità;
- sviluppo in serie di Taylor e calcolo differenziale e integrale in una variabile;
- elementi di algebra lineare, con particolare riferimento a vettori, matrici e sistemi di equazioni lineari.

È richiesta la capacità di leggere e comprendere semplici testi matematici e di formalizzare problemi mediante il linguaggio matematico.

La didattica si svolgerà mediante lezioni frontali alla lavagna ed esercitazioni in laboratorio informatico.

Le lezioni frontali saranno dedicate alla presentazione dei concetti teorici fondamentali, alla derivazione e discussione dei metodi numerici e all’analisi delle proprietà degli algoritmi introdotti. Le attività di laboratorio informatico saranno finalizzate all’applicazione pratica degli argomenti trattati, attraverso l’implementazione, la sperimentazione e l’analisi dei metodi numerici mediante strumenti computazionali.

Durante le esercitazioni in laboratorio, le studentesse e gli studenti saranno coinvolti attivamente nella risoluzione di problemi, nella progettazione e verifica degli algoritmi e nell’interpretazione critica dei risultati ottenuti. I concetti introdotti durante le lezioni teoriche saranno discussi e applicati attraverso esempi ed esercizi, con l’obiettivo di sviluppare capacità di analisi, senso critico e autonomia di giudizio nell’utilizzo dei metodi numerici.

Frequenza: consigliata.

Le studentesse e gli studenti con disabilità o con Disturbi Specifici dell’Apprendimento (DSA) o con Bisogni Educativi Speciali (BES) possono richiedere servizi e strumenti specifici a loro dedicati rivolgendosi allo Staff Sviluppo e Coordinamento Carriere e Servizi alle Studentesse e agli Studenti e consultando la pagina dedicata del sito di Ateneo:
https://uniupo.it/it/servizi/servizi-studentesse-e-studenti-condizione-di-disabilit%C3%A0-e-dsa/sportello-dsa

Le studentesse e gli studenti con disabilità, DSA, BES, una volta preso contatto con lo Staff di Ateneo, possono contattare la docente titolare dell'insegnamento in relazione alla declinazione delle modalità di esame, in merito agli aspetti didattici.

La verifica dell’apprendimento consiste in una prova orale sugli argomenti trattati durante le lezioni teoriche e le attività pratiche svolte in laboratorio informatico.

Durante la prova orale, la studentessa/lo studente dovrà dimostrare di aver acquisito le conoscenze e le competenze previste dagli obiettivi formativi dell’insegnamento, utilizzando un linguaggio matematico e computazionale appropriato e mostrando la capacità di descrivere, applicare e discutere criticamente i metodi numerici introdotti durante il corso.

La valutazione complessiva terrà conto del livello di acquisizione dei seguenti risultati di apprendimento:

- conoscenza e comprensione dei principi fondamentali del calcolo numerico e delle problematiche connesse al calcolo scientifico;
- capacità di applicare metodi numerici per la soluzione approssimata di problemi matematici;
- capacità di analizzare accuratezza, stabilità e affidabilità dei risultati prodotti dagli algoritmi numerici;
- capacità di scegliere e motivare l’utilizzo di un metodo numerico in relazione al problema considerato;
- capacità di comunicare in modo chiaro e rigoroso procedimenti, risultati e osservazioni critiche.

Il voto finale sarà determinato sulla base del grado di raggiungimento degli obiettivi formativi dell’insegnamento, considerando la conoscenza dei contenuti teorici, la capacità di applicare i metodi numerici, la padronanza degli strumenti computazionali utilizzati in laboratorio e la capacità di argomentare in modo autonomo e critico.

La sufficienza (18/30) viene raggiunta quando la studentessa/lo studente dimostra una conoscenza essenziale degli argomenti fondamentali del corso ed è in grado di:

- descrivere i principali concetti e metodi numerici introdotti;
- applicare correttamente procedure standard a semplici problemi numerici;
- interpretare i risultati ottenuti, anche con eventuali imprecisioni non sostanziali;
- utilizzare una terminologia matematica e computazionale di base adeguata.

Una valutazione superiore alla sufficienza riflette un progressivo miglioramento nella capacità di collegare concetti, applicare autonomamente i metodi e analizzare criticamente le soluzioni ottenute:

18–20/30: conoscenza essenziale dei contenuti, capacità di applicare metodi standard con limitata autonomia e presenza di alcune imprecisioni non sostanziali.
21–24/30: buona conoscenza degli argomenti, corretta applicazione dei principali metodi numerici e discreta capacità di analisi dei risultati.
25–27/30: padronanza dei contenuti, capacità di collegamento tra aspetti teorici e computazionali, autonomia nell’utilizzo dei metodi numerici.
28–30/30: conoscenza approfondita degli argomenti, capacità di analisi critica delle proprietà degli algoritmi, scelta consapevole dei metodi più adeguati e uso rigoroso del linguaggio matematico e computazionale.
30/30 e lode: raggiungimento di un livello di eccellenza caratterizzato da particolare autonomia di giudizio, capacità di approfondimento, padronanza dei contenuti e chiarezza nell’esposizione.

La modalità di verifica è progettata per stimolare un ruolo attivo della studentessa e dello studente nel processo di apprendimento, valorizzando non solo la conoscenza dei risultati finali, ma anche la comprensione dei procedimenti, la capacità di motivare le scelte effettuate e l’interpretazione critica delle soluzioni numeriche.

Per la preparazione della prova orale si consiglia l’utilizzo dei seguenti materiali:
- appunti delle lezioni;
- dispense e materiale didattico fornito dal docente;
- esercitazioni svolte durante il corso e materiale relativo alle attività di laboratorio informatico;
- libri di testo di Calcolo Numerico indicati dal docente, utili per consolidare la comprensione teorica degli argomenti e approfondire gli aspetti metodologici.

ANALISI DELL'ERRORE: errore assoluto ed errore relativo. Tipologie di errore. Numeri di macchina. Rappresentazione mediante troncamento ed arrotondamento. Precisione di macchina. Overflow ed Underflow. Aritmetica finita. Condizionamento di un problema. Condizionamento delle quattro operazioni algebriche fondamentali.
APPROSSIMAZIONE DI ZERI DI FUNZIONE: Il metodo di bisezione: criteri di arresto, condizionamento del problema ed ordine di convergenza. Il metodo di Newton: convergenza locale ed ordine di convergenza quadratico per radici semplici. Il caso di radici multiple: convergenza lineare e ripristino dell'ordine quadratico per il caso di molteplicità esatta nota a priori. Metodi quasi-Newton.
RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI: Casi semplici. Fattorizzazione LU: esistenza, unicità e costo computazionale. Matrici a diagonale dominante. Matrici simmetriche e definite positive: metodo di Cholesky. Pivoting. Condizionamento del problema. Metodi iterativi di base. Sistemi lineari sovradeterminati: soluzione nel senso dei minimi quadrati, metodo delle equazioni normali e cenni sul metodo basato sulla fattorizzazione QR.
APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI: Interpolazione polinomiale: esistenza ed unicità del polinomio interpolante. Forma di Lagrange. Cenni sulla analisi dell'errore. Il metodo dei minimi quadrati nel discreto.
INTEGRAZIONE NUMERICA: Formule di quadratura di tipo interpolatorio. Formule di Newton-Cotes: il metodo dei trapezi ed il metodo di Simpson semplici. Analisi dell'errore. Grado di precisione di una formula di quadratura. Analisi del condizionamento di un integrale definito e di una formula di quadratura. Metodo dei trapezi e di Simpson compositi e relativa analisi dell'errore.
AMBIENTE DI CALCOLO OCTAVE/MATLAB: Definizione di variabili scalari, vettori e matrici. Tipo di una variabile. Operatore due punti. Sottovettori e sottomatrici. Operatori aritmetici, relazionali e logici. Espressioni. Principali funzioni built-in. M-files di tipo script. Comandi per l'input e l'output dei dati. Comandi per il controllo del flusso di esecuzione. M-files di tipo function: parametri di input e di output. Principali comandi per la grafica in 2D.

I risultati di apprendimento attesi (RAA) sono coerenti con le finalità del Corso di Studi in Informatica, in quanto forniscono alle studentesse e agli studenti conoscenze e competenze fondamentali per la comprensione, l’analisi e l’utilizzo di metodi numerici nell’ambito computazionale. Tali competenze sono rilevanti per affrontare problemi informatici che richiedono modellizzazione matematica, progettazione di algoritmi, analisi dei risultati e utilizzo consapevole delle risorse di calcolo.

I risultati sono commisurati ai 6 CFU, alle attività didattiche previste (lezioni teoriche ed esercitazioni in laboratorio informatico) e alle risorse formative messe a disposizione dal Corso di Studi. Il loro raggiungimento è verificabile attraverso la prova orale e le attività pratiche svolte durante il corso.

- Conoscenza e capacità di comprensione

Al termine dell’insegnamento, la studentessa/lo studente sarà in grado di:

- comprendere i principi fondamentali del calcolo numerico e le problematiche connesse alla soluzione approssimata di problemi matematici mediante calcolatore;
- conoscere le principali tecniche per lo sviluppo di metodi numerici e le proprietà fondamentali degli algoritmi introdotti;
- comprendere gli aspetti relativi ad accuratezza, convergenza, condizionamento e stabilità numerica;
- conoscere le difficoltà associate alla rappresentazione dei numeri e al calcolo automatico, nonché le strategie utilizzate per affrontarle.

Livello minimo di sufficienza: la studentessa/lo studente conosce i concetti fondamentali del corso, comprende il significato dei principali metodi numerici studiati ed è in grado di descriverne le caratteristiche essenziali utilizzando una terminologia matematica appropriata.

Livello avanzato: la studentessa/lo studente dimostra una conoscenza approfondita dei metodi numerici, è in grado di analizzarne proprietà e limiti, di collegare aspetti teorici e computazionali e di valutare criticamente l’affidabilità dei risultati ottenuti.

- Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Al termine dell’insegnamento, la studentessa/lo studente sarà in grado di:

- applicare metodi numerici per la soluzione approssimata di problemi matematici;
- individuare il metodo più appropriato in relazione alla natura del problema, all’accuratezza richiesta e alle risorse computazionali disponibili;
- implementare, utilizzare e verificare algoritmi numerici mediante strumenti computazionali;
- effettuare test di correttezza e accuratezza dei risultati prodotti dagli algoritmi;
- valutare vantaggi e limiti dei diversi metodi numerici e formulare scelte consapevoli;
- analizzare e presentare in modo chiaro i risultati delle esperienze numeriche svolte;
- elaborare strategie risolutive per problemi nuovi sulla base dei metodi e delle tecniche apprese.

Livello minimo di sufficienza: la studentessa/lo studente è in grado di applicare metodi numerici standard a problemi noti, utilizzare semplici implementazioni o codici forniti dal docente, verificare qualitativamente i risultati ottenuti e descrivere il procedimento seguito.

Livello avanzato: la studentessa/lo studente è in grado di scegliere autonomamente metodi e strategie risolutive adeguate, motivare le scelte effettuate, analizzare criticamente accuratezza e stabilità delle soluzioni, sviluppare o modificare algoritmi numerici e comunicare efficacemente risultati e valutazioni tecniche.