Ateneo - UPO

Richiami di Statistica descrittiva sui principali indicatori statistici.
Elementi di probabilità: proprietà assiomatiche della probabilità, probabilità condizionata e Teorema di Bayes, variabili aleatorie discrete e continue e loro principali modelli. Statistica inferenziale e stima dei parametri. Metodi Numerici: aritmetica finita ed analisi dell'errore, risoluzione numerica di sistemi lineari mediante metodi diretti, interpolazione polinomiale, integrazione numerica. Introduzione a Octave.

PROBABILITÀ E STATISTICA: + Note del docente caricate sulla piattaforma DIR. + Paolo Baldi: Calcolo delle Probabilità e Statistica, McGraw-hill, 1998. + Sheldon M. Ross: Probabilità e Statistica per l'Ingegneria e le Scienze, Apogeo Education - Seconda Edizione 2008 METODI NUMERICI: + Appunti del docente caricati sulla piattaforma DIR.

L’insegnamento, 3 CFU Probabilità e Statistica + 3 CFU Metodi Numerici, è svolto mediante attività didattica erogativa (DE) attraverso lezioni frontali alla lavagna, si propone avviare le studentesse e gli studenti alla teoria e pratica del Calcolo delle Probabilità, con particolare attenzione alle variabili aleatorie discrete, e ai concetti fondamentali della Statistica, con particolare attenzione alla stima dei parametri e di fornire alle studentesse e agli studenti le conoscenze fondamentali dei principali metodi numerici di base e delle loro proprietà, con particolare riferimento alla soluzione di problemi matematici di interesse per la fisica applicata. Le lezioni saranno integrate da 20 ore di esercitazioni di cui 10 ore in laboratorio informatico, durante le quali gli strumenti matematici introdotti verranno applicati direttamente anche mediante l’utilizzo di calcolatori.

Il corso mira a sviluppare la capacità di comprendere il significato degli algoritmi numerici introdotti, analizzarne l’accuratezza e valutarne l’efficacia in relazione al problema considerato. Le studentesse e gli studenti acquisiranno inoltre la capacità di utilizzare un linguaggio matematico appropriato nella descrizione dei metodi numerici e dei relativi risultati.

L’obiettivo formativo principale è fornire strumenti matematici e computazionali utili per affrontare in modo consapevole problemi quantitativi nell’ambito della fisica applicata, sviluppando capacità di analisi critica e di scelta del metodo più appropriato.

È richiesta una solida conoscenza delle nozioni fondamentali di matematica acquisite nei precedenti corsi. Sono richieste conoscenze relative a: funzioni e successioni, limiti, calcolo differenziale in una variabile, sviluppi di Taylor, calcolo integrale in una variabile. In particolare, è richiesta la capacità di individuare i punti di massimo e minimo delle principali funzioni trascendenti elementari e loro combinazioni. Sono inoltre richieste conoscenze di base di algebra lineare, con particolare riferimento a spazi vettoriali, sistemi lineari e algebra delle matrici.

La didattica si svolgerà mediante lezioni frontali alla lavagna, finalizzate alla presentazione dei concetti teorici e dei metodi numerici oggetto del corso. Le lezioni saranno integrate da esercitazioni, durante le quali gli strumenti matematici introdotti verranno anche applicati mediante l’utilizzo di calcolatori.
Le attività di laboratorio prevedono il coinvolgimento attivo delle studentesse e degli studenti, con l’obiettivo di consolidare la comprensione degli argomenti trattati, sviluppare capacità operative nell’implementazione degli algoritmi numerici e favorire l’analisi critica dei risultati ottenuti.
I concetti affrontati durante il corso saranno discussi e approfonditi collegialmente in aula e applicati nelle esercitazioni, al fine di stimolare l’autonomia di giudizio, la capacità di interpretazione dei risultati e l’utilizzo consapevole dei metodi numerici.

Frequenza: consigliata.

Le studentesse e gli studenti con disabilità o con Disturbi Specifici dell’Apprendimento (DSA) o con Bisogni Educativi Speciali (BES) possono richiedere servizi e strumenti specifici a loro dedicati rivolgendosi allo Staff Sviluppo e Coordinamento Carriere e Servizi alle Studentesse e agli Studenti e consultando la pagina dedicata del sito di Ateneo: https://uniupo.it/it/servizi/servizi-studentesse--studenti-condizione-di-disabilit%C3%A0-e-dsa. Una volta preso contatto con lo Staff di Ateneo, le studentesse e gli studenti interessati possono contattare il docente titolare dell'insegnamento per concordare le modalità d'esame e valutare eventuali adattamenti didattici.

Modulo: PROBABILITÀ E STATISTICA:

L'esame si compone di una prova scritta seguita da una prova orale.

La prova scritta è volta a valutare la capacità delle studentesse e degli studenti di applicare le nozioni apprese durante il corso ed è articolata in 2 esercizi, uno di Probabilità e uno di Statistica. Ciascun esercizio comprende 3 quesiti di difficoltà crescente. A ogni quesito risolto in modo corretto e completo vengono attribuiti 5 punti (per un totale massimo di 30 punti) e la prova si intende superata con un punteggio cumulativo non inferiore a 18. Durante lo scritto le studentesse e gli studenti possono consultare qualsiasi materiale cartaceo.

La prova orale prevede la discussione dello scritto e l'approfondimento della teoria sottostante. Essa è finalizzata a verificare il livello di conoscenza e comprensione dei contenuti del corso, nonché a valutare l'autonomia di giudizio e la proprietà di linguaggio della studentessa o dello studente.

La votazione finale di questo modulo è definita secondo i criteri specificati nel corrispondente Syllabus.

Modulo: METODI NUMERICI.

L’esame consiste in una prova orale sugli argomenti trattati durante le lezioni teoriche e le attività pratiche svolte in laboratorio informatico.

Durante la prova orale, la studentessa/lo studente dovrà dimostrare di aver acquisito le conoscenze relative ai contenuti del corso, utilizzando strumenti matematici, linguaggio tecnico e terminologia appropriati. La prova potrà includere la discussione dei metodi numerici affrontati, delle loro proprietà, dell’analisi dell’errore e del condizionamento dei problemi, nonché degli aspetti relativi all’implementazione degli algoritmi nell’ambiente di calcolo Octave.

La valutazione dell’esame tiene conto del grado di comprensione dei concetti teorici, della capacità di applicare correttamente i metodi numerici acquisiti, dell’interpretazione dei risultati ottenuti e dell’autonomia nell’affrontare problemi nuovi.

La votazione finale di questo modulo è definita secondo i criteri specificati nel corrispondente Syllabus.

Il raggiungimento della sufficienza richiede la capacità di comprendere i concetti fondamentali e di applicare correttamente le metodologie numeriche introdotte durante il corso. Il conseguimento dell’eccellenza richiede, oltre alla correttezza tecnica, capacità di ragionamento autonomo, collegamento tra gli argomenti, valutazione critica dei risultati e capacità di contestualizzare gli strumenti numerici in problemi applicativi.

La preparazione dell’esame si basa sulle dispense e sul materiale didattico fornito dai docenti e reso disponibile sulla piattaforma DIR, che costituiscono il principale riferimento per gli argomenti trattati durante il corso. A supporto dello studio possono essere consultati i testi universitari indicati dai docenti.

Le prove relative ai singoli moduli possono essere sostenute anche in appelli diversi, purché entrambi i moduli siano superati nello stesso anno solare.

La valutazione finale dell’insegnamento integrato è definita collegialmente dai docenti dei singoli moduli, tenendo conto delle valutazioni conseguite nelle rispettive prove.

- Modulo PROBABILITÀ E STATISTICA:

Elementi di teoria della probabilità finita: assiomi fondamentali, esiti equiprobabili e calcolo combinatorio, probabilità condizionata, teorema di Bayes, eventi indipendenti e affidabilità dei sistemi

Variabili aleatorie: variabili discrete, sistemi di variabili aleatorie, variabili indipendenti, valore atteso,
varianza e covarianza, variabili binomiali

Teoremi limite: disuguaglianza di Chebyshev, legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale

Statistica inferenziale di base: campioni statistici e stimatori, stimatori per media e varianza, intervalli di confidenza, modelli statistici parametrici e verosimiglianza

Entropia di Shannon: entropia come misura di incertezza, famiglie esponenziali e stima dei loro parametri

- Modulo METODI NUMARICI:

ANALISI DELL'ERRORE: errore assoluto ed errore relativo. Tipologie di errore. Numeri di macchina. Rappresentazione mediante troncamento ed arrotondamento. Precisione di macchina. Overflow ed Underflow. Aritmetica finita. Condizionamento di un problema. Condizionamento delle quattro operazioni algebriche fondamentali.
RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI: Casi semplici. Fattorizzazione LU: esistenza, unicità e costo computazionale. Pivoting. Condizionamento del problema. Sistemi lineari sovradeterminati: soluzione nel senso dei minimi quadrati, metodo delle equazioni normali e cenni sul metodo basato sulla fattorizzazione QR.
APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI: Interpolazione polinomiale: esistenza ed unicità del polinomio interpolante. Forma di Lagrange. Cenni sulla analisi dell'errore. Il metodo dei minimi quadrati nel discreto.
INTEGRAZIONE NUMERICA: Formule di quadratura di tipo interpolatorio. Formule di Newton-Cotes: il metodo dei trapezi ed il metodo di Simpson semplici. Analisi dell'errore. Grado di precisione di una formula di quadratura. Analisi del condizionamento di un integrale definito e di una formula di quadratura. Metodo dei trapezi e di Simpson compositi e relativa analisi dell'errore.
AMBIENTE DI CALCOLO OCTAVE: Definizione di variabili scalari, vettori e matrici. Tipo di una variabile. Operatore due punti. Sottovettori e sottomatrici. Operatori aritmetici, relazionali e logici. Espressioni. Principali funzioni built-in. M-files di tipo script. Comandi per l'input e l'output dei dati. Comandi per il controllo del flusso di esecuzione. M-files di tipo function: parametri di input e di output. Principali comandi per la grafica in 2D.

Al termine dell’insegnamento, grazie alle risorse didattiche messe a disposizione dal Corso di Studi (lezioni frontali, esercitazioni, attività di laboratorio informatico, materiale didattico ed esempi applicativi), la studentessa/lo studente avrà acquisito conoscenze e competenze fondamentali nell’ambito della Probabilità e della Statistica e dei Metodi Numerici. In particolare, sarà in grado di applicare i principali concetti e strumenti della teoria della probabilità e della statistica inferenziale, nonché di comprendere, analizzare e utilizzare metodi numerici per la soluzione di problemi matematici di interesse per la fisica applicata.

- Conoscenza e comprensione: studio delle basi teoriche (teoremi, definizioni) delle tecniche statistiche e numeriche e studio delle loro applicazioni.

Livello di sufficienza: la studentessa/lo studente conosce i principi alla base dei principali concetti e metodi di Probabilità e Statistica trattati nel corso e dei principali metodi numerici studiati, comprende il significato delle approssimazioni introdotte e riconosce i principali fattori che influenzano l’accuratezza e l’affidabilità dei risultati, sia nell’analisi probabilistica e statistica sia nei calcoli numerici.

Livello avanzato: la studentessa/lo studente dimostra una comprensione approfondita dei concetti e dei metodi di Probabilità e Statistica e dei metodi numerici studiati, è in grado di analizzarne proprietà, applicazioni, vantaggi e limiti, e comprende il ruolo dell’incertezza, dell’errore, del condizionamento e del costo computazionale nella scelta e nell’utilizzo degli strumenti e degli algoritmi più appropriati.

- Capacità di applicare conoscenza e comprensione: piena capacità di applicazione delle tecniche di calcolo e di analisi fornite dal corso. Sviluppo di software necessario, uso dei metodi automatico di calcolo già disponibili e implementazione di nuovi algoritmi.

Livello di sufficienza: la studentessa/lo studente è in grado di applicare i principali concetti e metodi della Probabilità e della Statistica a problemi noti, nonché di applicare metodi numerici standard alla soluzione di problemi matematici, implementare semplici algoritmi in ambiente di calcolo e verificare la correttezza dei risultati ottenuti attraverso confronti e analisi dell’errore.

Livello avanzato: la studentessa/lo studente è in grado di applicare autonomamente e in modo appropriato gli strumenti della Probabilità e della Statistica, interpretandone i risultati, nonché di scegliere il metodo numerico più adeguato al problema considerato, motivando la scelta sulla base di accuratezza, stabilità e costo computazionale. È inoltre in grado di analizzare criticamente i risultati ottenuti, anche attraverso simulazioni numeriche, mettere in relazione i diversi concetti e metodi affrontati e sviluppare strategie risolutive per problemi nuovi.

- Abilità comunicative: essere capaci di fornire in modo sia orale sia scritto i dettagli del calcolo e dei risultati dell’applicazione dei metodi al problema. Capacità di comunicare le procedure di calcolo tramite l’analisi dettagliata degli stadi di un calcolo sia manuale che automatico tramite l’implementazione di software.
- Capacità di apprendimento: acquisizione di una buona padronanza dei metodi statistici e numerici, in modo da poter espandere le proprie conoscenze nel proseguimento degli studi.