Ateneo - UPO

Insiemi, funzioni, limite per funzioni reali di una variabile reale, continuità, calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale.

Testi consigliati (in ordine alfabetico):

M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, "Analisi Matematica 1", Ed. Zanichelli.

Bramanti, Pagani, Salsa, ``Analisi Matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare'', Ed. Zanichelli.
Questo secondo volume è del tutto equivalente al primo per quanto riguarda la parte di Analisi Matematica 1 ma contiene una parte in più sugli argomenti di Geometria che vengono trattati nel corso di Matematica Discreta. Questo stesso volume rientra tra l'altro fra quelli consigliati per il corso di Matematica Discreta.

C. Trapani: “Analisi Matematica, funzioni di una variabile reale”, Ed. McGraw-Hill.

Acquisizione delle nozioni di base del calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali di una variabile reale.

Nozioni di base dell'algebra e della trigonometria.

Il corso è organizzato con lezioni frontali con parte teorica ed esercizi. Ogni argomento del corso viene introdotto per mezzo di una discussione generale che ha lo scopo di renderla il più possibile comprensibile agli studenti. In un secondo momento vengono introdotte le nozioni di base di ciascun argomento; esse sono successivamente seguite da esempi con lo scopo di chiarirne il significato. Il terzo passo è dedicato agli enunciati dei principali teoremi e alle loro dimostrazioni. L'ultima parte è dedicata agli esercizi. La partecipazione attiva alle lezioni viene stimolata attraverso domande dirette agli studenti che si pongono anche l'obiettivo di comprendere il livello di difficoltà incontrato da essi nel seguire le lezioni stesse; gli studenti sono anche invitati a proporre esercizi su argomenti che a loro modo di vedere richiedono maggiori chiarimenti.

Oltre ai libri suggeriti per la teoria, ulteriore materiale per la preparazione dell'esame verrà fornito durante lo svolgimento del corso. Esso è costituito dalle diapositive utilizzate nelle lezioni a distanza e dalle prove scritte degli anni precedenti.

L'esame è costituito da una prova scritta e da un successiva prova orale. La prova scritta di solito è costituita da 4-6 esercizi su diversi argomenti del corso. In ogni prova scritta, la maggior parte degli argomenti contenuti nel corso viene coperta. La presenza di domande sulla parte teorica non è esclusa. L'esame orale è costituito da domande preliminari sulle nozioni di base della matematica e sulle funzioni elementari, da una discussione sugli esercizi contenuti nella prova scritta e da alcune domande finali sugli enunciati e le dimostrazioni dei principali risultati teorici. L'ammissione alla prova orale è subordinata al superamento della prova scritta con un voto maggiore o uguale a 16/30; il voto conclusivo sarà ottenuto avendo come punto di partenza il voto della prova scritta al quale si aggiungeranno o sottrarranno punti in base all'andamento della prova orale. Il superamento della prova scritta, anche con il massimo dei voti, non garantisce il superamento dell'esame in caso di prova orale insufficiente.

Insiemi, operazioni insiemistiche; funzioni, composizione di funzioni, iniettività, suriettività, biunivocità, invertibilità, cardinalità di un insieme.
Limite di una funzione reale di una variabile reale; limiti destro e sinistro; limiti e operazioni algebriche; Teorema dei due carabinieri; Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone; Teorema di cambiamento di variabile per i limiti.
Continuità per funzioni reali di una variabile reale; continuità e operazioni algebriche; continuità di funzioni composte; Teorema di permanenza del segno; Teorema di Weierstrass; Teorema degli zeri e dei valori intermedi; continuità della funzione inversa.
Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale; derivate e operazioni algebriche; derivata di una funzione composta; derivabilità della funzione inversa.
Massimi e minimi relativi; monotonia di una funzione e segno della derivata prima; Teoremi di de l'Hopital; funzioni convesse e concave, punti di flesso e legame con il segno della derivata seconda.
Integrazione secondo Riemann; integrabilità di somme e prodotti di funzioni integrabili; Teorema della media; funzioni integrali; Teorema fondamentale del calcolo integrale; formule di integrazione per sostituzione e per parti.

- Conoscenza e capacità di comprensione: acquisizione delle principali nozioni del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni reali di una variabile reale.
- Capacità di applicare conoscenza e comprensione: saper dedurre le principali proprietà qualitative e quantitative per una funzione reale di una variabile reale.
- Capacità di apprendere: lo studente dovrà acquisire una certa padronanza nell'utilizzo del ragionamento logico e nell'applicazione del rigore metodologico necessari per affrontare problemi basati sulla modellazione matematica.