Ateneo - UPO

Teoria elementare dei numeri. Alcune nozioni di base dell'algebra lineare.

Testi consigliati:
+ Facchini, "Sussidiario di algebra e matematica discreta", ed. Zanichelli.
+ Facchini, "Algebra per informatica. Introduzione ai metodi della matematica discreta e all'algebra astratta", ed. Zanichelli.
+ Bramanti, Pagani, Salsa, "Analisi Matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare", Ed. Zanichelli.

L'insegnamento si propone di fornire agli studenti la conoscenza degli elementi principali dell'algebra, del calcolo vettoriale e matriciale e delle loro applicazioni. Scopo dell'insegnamento è che gli studenti acquisiscano e sappiano utilizzare un linguaggio matematico appropriato in relazione agli argomenti trattati nel corso. Obiettivo formativo dell'insegnamento è quello di sviluppare la capacità di modellizzare semplici situazioni con l'aiuto di idee e metodi di base di algebra (teoria elementare dei numeri) e algebra lineare.

Lettura e produzione di brevi testi scritti in italiano. Proprietà di base dei numeri interi. Proprietà di base del piano cartesiano.

La didattica si svolgerà mediante lezioni frontali alla lavagna con parte teorica ed esercizi. Ogni argomento del corso viene introdotto per mezzo di una discussione generale che ha lo scopo di renderla il più possibile comprensibile agli studenti. In un secondo momento vengono introdotte le nozioni di base di ciascun argomento; esse sono successivamente seguite da esempi con lo scopo di chiarirne il significato. L'ultima parte è dedicata agli esercizi che saranno svolti dal docente con il coinvolgimento attivo degli studenti per stimolarne il senso critico e l’autonomia di giudizio.

Il controllo dell'apprendimento in itinere verrà effettuato svolgendo esercizi in aula con la partecipazione attiva degli studenti. Oltre ai libri suggeriti per la teoria e gli esercizi, eventuale ulteriore materiale per la preparazione dell'esame verrà fornito durante lo svolgimento del corso.

Il voto del modulo di algebra e geometria è una media ponderata con il voto del modulo di logica per ottenere il voto finale di matematica discreta.

L'esame è costituito da una prova scritta contenente un numero variabile di esercizi su diversi argomenti del corso. In ogni prova scritta, la maggior parte degli argomenti contenuti nel corso viene coperta. La presenza di domande sulla parte teorica non è esclusa. La prova scritta, integrata con il modulo di Logica, consiste di esercizi sul programma svolto durante le lezioni e ha la durata di un'ora. Durante la prova scritta è consentito l'uso di una calcolatrice.

Numeri interi. Divisibilità e numeri primi. Massimo comune divisore. Algoritmo di Euclide. Minimo comune multiplo. Equazioni diofantee. Congruenze e classi di resto. Criteri di divisibilità. Rappresentazione di numeri con base diversa da dieci. Teorema cinese del resto. Condivisione di segreti mediante sistemi di congruenze. Il teorema di Eulero. Il problema del logaritmo discreto. Il protocollo di Diffie-Hellman. Il protocollo RSA. Sistemi lineari. Metodo di Eliminazione di Gauss. Matrici, determinanti, rango, matrice inversa. Spazi vettoriali, basi, dipendenza lineare. Applicazioni lineari, prodotto scalare. Applicazioni ai sistemi lineari.

Conoscenza e comprensione di alcuni concetti basilari della teoria elementare dei numeri e dell'algebra lineare, e capacità di applicarli a semplici problemi. Queste nozioni devono necessariamente entrare a far parte del bagaglio culturale degli studenti per consentire loro di poter affrontare con maggiore facilità alcuni esami applicativi in cui le suddette nozioni trovano un'applicazione diretta come nel caso della Fisica. Capacità di valutare l'appropriatezza di un algoritmo che applica tali concetti. Capacità di comunicare in modo semplice e chiaro i procedimenti adottati.