Ateneo - UPO

Il corso fornisce nozioni sull'analisi degli errori, l'aritmetica di macchina, l'approssimazione numerica della soluzione di equazioni non lineari, metodi efficienti per la soluzione di sistemi di equazioni lineari. Il corso affronta anche le principali questioni relative all'approssimazione delle funzioni e all'integrazione numerica.

Appunti del docente caricati sulla piattaforma DIR.

L'insegnamento si propone di fornire agli studenti la conoscenza dei metodi numerici di base e la analisi delle loro principali proprietà. Scopo dell'insegnamento è che gli studenti acquisiscano e sappiano utilizzare un linguaggio matematico appropriato in relazione agli argomenti trattati nel corso e che sviluppino la capacità di utilizzare in maniera corretta e consapevole le nozioni imparate. Obiettivo formativo dell’insegnamento è quello di sviluppare la capacità di implementare su calcolatore gli strumenti matematici introdotti a lezione. In particolare, lo studente sarà in grado di valutare uno schema numerico sia dal punto di vista dell'accuratezza dell'approssimazione che fornisce sia dal costo computazionale della sua implementazione.

Conoscenza delle nozioni fondamentali fornite durante corsi matematica. In maggior dettaglio:
funzioni e successioni, limiti, calcolo differenziale in una variabili, sviluppi di Taylor, calcolo integrale in una variabile, problemi ai valori iniziali per sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
Spazi vettoriali, sistemi lineari, algebra delle matrici, autovalori ed autovettori.

La didattica si svolgerà mediante lezioni frontali alla lavagna ed esercitazioni in laboratorio informatico. Oltre alle lezioni teoriche verranno svolte esercitazioni in laboratorio informatico da parte del docente con il coinvolgimento attivo degli studenti per approfondire gli argomenti trattati durante le lezioni teoriche. I concetti oggetto del corso verranno discussi collegialmente in aula e applicati direttamente durante le esercitazioni in laboratorio per stimolare negli studenti il senso critico e l’autonomia di giudizio.

Frequenza: consigliata

Prova orale sugli argomenti trattati durante le lezioni teoriche e pratiche (laboratorio informatico). Durante la prova orale lo studente dovrà dimostrare di aver acquisito conoscenze sui contenuti del corso utilizzando strumenti e terminologia appropriata.

ANALISI DELL'ERRORE: errore assoluto ed errore relativo. Tipologie di errore. Numeri di macchina. Rappresentazione mediante troncamento ed arrotondamento. Precisione di macchina. Overflow ed Underflow. Aritmetica finita. Condizionamento di un problema. Condizionamento delle quattro operazioni algebriche fondamentali;
APPROSSIMAZIONE DI ZERI DI FUNZIONE: Il metodo di bisezione: criteri di arresto, condizionamento del problema ed ordine di convergenza. Il metodo di Newton: convergenza locale ed ordine di convergenza quadratico per radici semplici. Il caso di radici multiple: convergenza lineare e ripristino dell'ordine quadratico per il caso di molteplicità esatta nota a priori. Metodi quasi-Newton.
RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI: Casi semplici. Fattorizzazione LU: esistenza, unicità e costo computazionale. Matrici a diagonale dominante. Matrici simmetriche e definite positive: metodo di Cholesky. Pivoting. Condizionamento del problema. Metodi iterativi di base. Sistemi lineari sovradeterminati: soluzione nel senso dei minimi quadrati, metodo delle equazioni normali e cenni sul metodo basato sulla fattorizzazione QR.
APPROSSIMAZIONE DI FUNZIONI: Interpolazione polinomiale: esistenza ed unicità del polinomio interpolante. Forma di Lagrange. Cenni sulla analisi dell'errore. Il metodo dei minimi quadrati nel discreto.
INTEGRAZIONE NUMERICA: Formule di quadratura di tipo interpolatorio. Formule di Newton-Cotes: il metodo dei trapezi ed il metodo di Simpson semplici. Analisi dell'errore. Grado di precisione di una formula di quadratura. Analisi del condizionamento di un integrale definito e di una formula di quadratura. Metodo dei trapezi e di Simpson compositi e relativa analisi dell'errore.
AMBIENTE DI CALCOLO MATLAB: Definizione di variabili scalari, vettori e matrici. Tipo di una variabile. Operatore due punti. Sottovettori e sottomatrici. Operatori aritmetici, relazionali e logici. Espressioni. Principali funzioni built-in. M-files di tipo script. Comandi per l'input e l'output dei dati. Comandi per il controllo del flusso di esecuzione. M-files di tipo function: parametri di input e di output. Principali comandi per la grafica in 2D.

Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito le tecniche di base per lo sviluppo di metodi numerici e lo studio delle loro principali proprietà. Lo studente dovrà essere in grado di saper individuare i metodi più appropriati per la risoluzione di alcuni specifici problemi numerici anche in rapporto all'accuratezza richiesta ed alle risorse di calcolo a disposizione. Dovrà quindi essere in grado di passare dallo sviluppo ed analisi dei metodi alla loro implementazione, al loro utilizzo ed ai relativi test di correttezza ed accuratezza. Lo studente, sulla base dell'analisi dei metodi studiati, dovrà essere in grado di fornire una valutazione di pro e contro di ciascun metodo in modo da effettuare scelte consapevoli nella risoluzione dei problemi. Dovrà inoltre essere in grado di valutare la bontà dei risultati forniti dalle prove numeriche effettuate per mezzo dei codici presentati dal docente in aula o realizzati dallo studente stesso. Lo studente dovrà acquisire la capacità di descrivere, per ciascun problema studiato, la natura del problema stesso, le difficoltà nella sua risoluzione al calcolatore e le modalità con cui tali difficoltà sono affrontate. Dovrà inoltre acquisire la capacità di presentare in maniera efficace i risultati delle proprie esperienze numeriche. Sulla base dei problemi, dei metodi studiati e della loro analisi, lo studente dovrà acquisire la capacità di elaborare in proprio strategie risolutive da applicare a nuovi problemi.