Ateneo - UPO

Parte di Algebra: insiemi, richiami di aritmetica, numeri complessi, matrici, relazioni, cardinalità, grafi. Insiemi con operazioni: semigruppi, monoidi, gruppi, anelli, campi. Applicazioni alla crittografia. Algebra lineare: vettori, basi, prodotto scalare, applicazioni lineari. Sistemi di equazioni lineari. Determinanti.
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Parte di Logica: Logica Proposizionale e relativo calcolo della Deduzione naturale. Introduzione alla Logica dei Predicati.

Testi consigliati per la parte di Algebra:
Facchini, "Sussidiario di algebra e matematica discreta", ed. Zanichelli.
Facchini, "Algebra per informatica. Introduzione ai metodi della matematica discreta e all'algebra astratta", ed. Zanichelli.

Testo consigliato per la parte di Geometria:
Bramanti, Pagani, Salsa, "Analisi Matematica 1 con elementi di algebra lineare", Ed. Zanichelli.

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Testo consigliato per la parte di Logica:
"Logica a Informatica" di A. Asperti e A. Ciabattoni, Mc Grow Hill Education (1997)

Acquistabile solo il formato PDF

Acquisizione delle principali nozioni dell'algebra, del calcolo vettoriale e matriciale e delle loro applicazioni.
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Introdurre le nozioni elementari di logica delle proposizioni e del primo ordine con particolare attenzione alla relazione fra verità e derivabilità ed alla rappresentabilità nel calcolo dei predicati.

Nozioni di base della matematica elementare.
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Conoscenze acquisite nel corso di algebra e geometria.

Il corso è organizzato con lezioni frontali con parte teorica ed esercizi. Ogni argomento del corso viene introdotto per mezzo di una discussione
generale che ha lo scopo di renderla il più possibile comprensibile agli studenti. In un secondo momento vengono introdotte le nozioni di base di
ciascun argomento; esse sono successivamente seguite da esempi con lo scopo di chiarirne il significato. Il terzo passo è dedicato agli enunciati dei
principali teoremi e alle loro dimostrazioni. L'ultima parte è dedicata agli esercizi.
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Parte di logica: Lezioni frontali che includono esercitazioni.

Oltre ai libri suggeriti per la teoria e gli esercizi, eventuale ulteriore materiale per la preparazione dell'esame verrà fornito durante lo svolgimento del corso.
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Il voto del modulo di logica fa media pesata con il voto del modulo di algebra e geometria per ottenere il voto finale di Matematica discreta.

L'esame è costituito da una prova scritta in linea su Moodle contenente 33 domande a scelta multipla su diversi argomenti del corso, eventualmente integrabile da una prova orale facoltativa.
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Parte di Logica: La verifica finale consiste in una prova scritta della durata di mezz'ora e in una prova orale facoltativa.

Insiemi e richiami di aritmetica, MCD, MCM, algoritmo di Euclide. Principio di induzione. Sistemi posizionali in base arbitraria. Numeri complessi. Matrici,
loro addizione e moltiplicazione. Relazioni, classi di equivalenza, partizioni. Insieme delle classi resto, aritmetica modulare. Applicazioni alla crittografia: algoritmo RSA. Cardinalità, coefficienti binomiali, insiemi infiniti, ordinamenti. Grafi, circuiti Euleriani e Hamiltoniani, alberi e grafi piani. Insiemi dotati di operazioni: semigruppi, monoidi, gruppi, anelli, campi. Permutazioni. Gruppi di simmetria. Classi laterali, sottogruppi normali, teorema di Lagrange. Algebra lineare: spazi vettoriali, vettori linearmente indipendenti, basi. Geometria analitica lineare nello spazio: equazione della retta e del piano. Applicazioni lineari e loro rappresentazione matriciale. Nucleo e immagine. Operatori lineari. Prodotto scalare. Prodooto vettoriale in 3D, interpretazione geometrica. Sistemi di equazioni lineari omogenei e non omogenei, rango di una matrice, teorema di Rouché-Capelli. Determinanti, regola di Cramer. Matrice inversa. Operatori hermitiani, unitari, normali. Autovalori e autovettori.

Numeri interi, divisione euclidea, massimo comun divisore, algoritmo di Euclide. Equazioni diofantee. Sistemi di congruenze e Teorema Cinese del Resto. Classi di resto modulo n. Il Teorema di Eulero. Il problema del logaritmo discreto. Calcolo del logaritmo discreto. Applicazioni alla crittografia.
Vettori nel piano e nello spazio tridimensionale ed estensione del concetto di vettore al caso di R^N. Definizione di matrice, somma tra matrici, prodotto tra uno scalare e una matrice, prodotto riga per colonna tra matrici. Definizione di matrice trasposta, matrice simmetrica, matrice inversa. Definizione di determinante per matrici quadrate e interpretazione geometrica. Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto tra vettori e applicazioni del determinante nel calcolo di prodotti vettoriali e misti. Rango di una matrice e applicazione del determinante nel calcolo del rango. Sistemi lineari, Teorema di Rouchè-Capelli, Regola di Cramer. Risoluzione di sistemi lineari con il Metodo di Eliminazione di Gauss, rette e piani nello spazio tridimensionale.
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Logica Proposizionale:
• Sintassi.
• Semantica: interpretazione, definizioni di soddisfacibile, contraddittorio, tautologia, conseguenza semantica e risultati connessi, equivalenza semantica, completezza funzionale e forma normali.
• Deduzione naturale: regole e dimostrazioni, correttezza, enunciato di completezza.
Logica dei Predicati:
• Sintassi: variabili libere e legate, sostituzione.
• Semantica: Interpretazione, definizioni di soddisfacibile, contraddittorio, tautologia, conseguenza semantica e risultati connessi.

Il primo obiettivo è quello di fornire agli studenti una metodologia di studio basata sul rigore delle dimostrazioni che consenta loro di sfruttare
tale acquisita capacità anche in ambiti diversi dalla Matematica. Passando ora alla parte più tecnica riguardante i contenuti del corso, si
puntualizza il fatto che uno dei principali obiettivi del corso è quello di fornire agli studenti le conoscenze di base sull'algebra e sul calcolo vettoriale e matriciale, di fondamentale importanza nelle applicazioni. Queste nozioni devono necessariamente entrare a far parte del bagaglio culturale degli studenti per consentire loro di poter affrontare con maggiore facilità alcuni esami applicativi in cui le suddette nozioni trovano un'applicazione diretta come nel caso della Fisica.
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Le competenze da verificare, e necessarie per il superamento del corso consistono nella comprensione dei concetti di base della logica proposizionale (sia per quanto riguarda la semantica sia per quanto riguarda i metodi di prova) e della logica dei predicati.