Ateneo - UPO

Il corso tratta i principali argomenti dell'Algebra Lineare ed alcuni argomenti di base della Geometria Analitica nel piano e nello spazio.
Più specificamente i principali argomenti sono i seguenti: spazi vettoriali e basi, operazioni tra vettori, matrici e operazioni tra matrici, rango di una matrice, determinante di una matrice quadrata, invertibilità di matrici quadrate e calcolo della matrice inversa, sistemi lineari e Teorema di Rouché-Capelli, prodotto scalare nello spazio euclideo n-dimensionale, prodotto Hermitiano per spazi vettoriali complessi, prodotto vettoriale nello spazio euclideo tridimensionale, applicazioni lineari tra spazi vettoriali astratti, autovalori e autovettori, diagonalizzazione di operatori simmetrici.

Testo consigliato:

Bramanti, Pagani, Salsa, “Analisi Matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare”, Ed. Zanichelli, 2014.

Il testo indicato è il medesimo che verrà adottato per il corso di Matematica I.

L'insegnamento si propone di consentire a coloro che frequentano il corso di acquisire quelle conoscenze di base dell'algebra lineare e della geometria analitica necessarie in tutti quegli ambiti applicativi che fanno utilizzo di strumenti matematici avanzati. In questo corso verranno fornite le nozioni di base del calcolo vettoriale e matriciale con applicazioni nell'ambito della geometria analitica nel piano e nello spazio.

E' richiesta la conoscenza delle nozioni e dei contenuti del corso di Matematica I e in modo più specifico le nozioni di base sulla teoria degli insiemi e delle funzioni. In particolare, le persone che intendono frequentare il presente corso e superare il relativo esame, devono raggiungere alcuni dei risultati di apprendimento attesi per il corso di Matematica I che richiamiamo qui di seguito:
- capacità di applicare conoscenza e comprensione: si deve avere sviluppato una padronanza delle nozioni apprese che consenta di collegarle tra loro in autonomia e di utilizzarle congiuntamente nella risoluzione di semplici problemi teorici;
- capacità di comunicare quanto si è appreso: si deve essere in grado di spiegare chiaramente sia le nozioni stesse, sia il loro utilizzo in termini generali o nel caso specifico di un problema.

Il corso è organizzato con lezioni frontali con parte teorica ed esercizi. Ogni argomento del corso viene introdotto per mezzo di una discussione generale che ha lo scopo di renderla il più possibile comprensibile. In un secondo momento vengono introdotte le nozioni di base di ciascun argomento; esse sono successivamente seguite da esempi con lo scopo di chiarirne il significato. Il terzo passo è dedicato agli enunciati dei principali teoremi e alle loro dimostrazioni. L'ultima parte è dedicata agli esercizi. La partecipazione attiva alle lezioni viene stimolata attraverso domande che si pongono anche l'obiettivo di comprendere il livello di difficoltà incontrato nel seguire le lezioni stesse. E' previsto l'utilizzo della piattaforma di ateneo www.dir.uniupo.it sulla quale è possibile consultare materiale didattico integrativo quali dispense, esercizi vari, testi di prove scritte passate.

Oltre ai libri suggeriti per la teoria, ulteriore materiale per la preparazione dell'esame verrà fornito durante lo svolgimento del corso. Esso è costituito principalmente dalle diapositive utilizzate durante lo svolgimento delle lezioni e dalle prove scritte degli anni precedenti.

Le persone con disabilità o con Disturbi Specifici dell’Apprendimento (DSA) o con Bisogni Educativi Speciali (BES) possono richiedere servizi e strumenti specifici a loro dedicati rivolgendosi allo Staff Sviluppo e Coordinamento Carriere e Servizi alle Studentesse e agli Studenti e consultando la pagina dedicata del sito di Ateneo: https://uniupo.it/it/servizi/servizi-studentesse-e-studenti-condizione-di-disabilit%C3%A0-e-dsa
Le persone con disabilità, DSA, BES, una volta preso contatto con lo Staff di Ateneo, possono contattare la persona titolare dell'insegnamento in relazione alla declinazione delle modalità di esame, in merito agli aspetti didattici.

L'esame è costituito da una prova scritta e da una prova orale. La prova scritta è di solito costituita da 3 esercizi su diversi argomenti del corso. I principali argomenti che possono comparire nei vari esercizi sono i seguenti:
a) studio dell'indipendenza lineari tra vettori dati;
b) stabilire se un insieme di vettori dati costituisca un sistema di generatori o una base di un dato spazio vettoriale;
c) esercizi su prodotto scalare, hermitiano, vettoriale e misto;
d) operazioni tra matrici, studio dell'invertibilità di una matrice e calcolo della matrice inversa;
e) determinazione del rango di una matrice;
f) studio dell'esistenza e dell'unicità delle soluzioni di sistemi lineari mediante l'utilizzo del Teorema di Rouché-Capelli;
g) calcolo delle soluzioni di un sistema lineare con metodi vari tra i quali la formula di Cramer;
h) esercizi su rette e piani nello spazio euclideo tridimensionale;
i) determinazione di autovalori e autovettori per operatori lineari e/o per le matrici ad essi associate;
l) studio della diagonalizzabilità di operatori lineari.

Il punteggio attribuito a ciascun esercizio è variabile e dipende dalla tipologia dell'esercizio stesso e dalla sua difficoltà.
Tale punteggio viene riportato accanto al testo di ciascun esercizio.

L'ammissione alla prova orale è subordinata al raggiungimento di un risultato minimo nella prova scritta.
La prova orale prevede una verifica sui seguenti punti:
a) comprensione degli eventuali errori commessi nella prova scritta;
b) trattazione di un argomento teorico a scelta;
c) ulteriore domanda su un argomento scelto dal docente.
Nel caso in cui le risposte ed il linguaggio utilizzato siano soddisfacenti, è possibile raggiungere una votazione finale superiore a quella conseguita nella prova scritta. In nessun caso il punteggio finale potrà essere superiore di oltre 7 punti rispetto a quello ottenuto nella prova scritta.
Non è escluso che il voto finale sia anche inferiore a quello della prova scritta; si precisa che nei casi in cui la prova orale non dovesse risultare soddisfacente l'esito complessivo dell'esame potrebbe essere considerato negativo.
Per il raggiungimento di un voto eccellente si richiede una notevole conoscenza degli argomenti teorici unita ad un'ottima dimestichezza nel calcolo.

Il voto finale dell'intero esame di Matematica II sarà attribuito dopo una valutazione complessiva basata sui risultati ottenuti nei singoli moduli.

Il corso si propone di fornire le nozioni basilari del calcolo vettoriale e matriciale. I principali argomenti che verranno trattati in questo corso sono i seguenti:
1. vettori geometrici nel piano e nello spazio tridimensionale e relative operazioni;
2. introduzione del concetto di spazio vettoriale astratto sia in campo reale che complesso;
3. sistemi di generatori, vettori linearmente indipendenti, base di uno spazio vettoriale;
4. matrici e operazioni tra matrici;
5. rango di una matrice e determinante di una matrice quadrata;
6. prodotto scalare nello nello spazio euclideo n-dimensionale, prodotto hermitiano nello spazio complesso C^n;
7. prodotto vettoriale e prodotto misto per vettori dello spazio euclideo tridimensionale;
8. invertibilità di matrici quadrate e calcolo delle matrice inversa;
9. esistenza e unicità delle soluzioni di sistemi lineari, Teorema di Rouché-Capelli, formula di Cramer;
10. rette e piano nello spazio euclideo tridimensionale;
11. operatori lineari, autovalori e autovettori;
12. diagonalizzabilità di operatori lineari;
13. diagonalizzabilità di operatori lineari simmetrici in campo reale e di operatori hermitiani in campo complesso.

Al fine di raggiungere le conoscenze e le competenze corrispondenti al livello minimo di sufficienza si chiede di dimostrare:

(Conoscenze)
- conoscere le principali nozioni su vettori, matrici e relative operazioni;
- conoscere le principali nozioni riguardanti lo studio dei sistemi lineari;
- conoscere le principali nozioni sulla geometria analitica di rette e piani nello spazio euclideo tridimensionale;
- conoscere le principali nozioni su applicazioni lineari tra spazi vettoriali;
- conoscere le principali nozioni su autovalori, autovettori e diagonalizzabilità di operatori lineari.

(Competenze)
- saper applicare le principali nozioni del calcolo vettoriale e matriciale;
- essere in grado di riconoscere nel singolo ambito applicativo le corrette nozioni del calcolo vettoriale e matriciale che devono essere utilizzate nel contesto considerato.

(Abilità trasversali)
- essere in grado di utilizzare il corretto linguaggio matematico all'interno di un progetto applicato;
- essere in grado di comprendere da fonti, quali ad esempio libri di testo e articoli, il significato profondo di quanto si stia leggendo anche quando in esse viene utilizzato un linguaggio matematico avanzato.

Conseguimento di un livello avanzato: si deve essere in grado di dimostrare una notevole padronanza della materia studiata sia per quanto riguarda la capacità nella risoluzione di esercizi sia per quanto riguarda la conoscenza dei principali risultati teorici del calcolo vettoriale e matriciale.