Insiemi e richiami di aritmetica, MCD, MCM, algoritmo di Euclide. Principio di induzione. Sistemi posizionali in base arbitraria. Numeri complessi. Matrici,
loro addizione e moltiplicazione. Relazioni, classi di equivalenza, partizioni. Insieme delle classi resto, aritmetica modulare. Applicazioni alla crittografia: algoritmo RSA. Cardinalità, coefficienti binomiali, insiemi infiniti, ordinamenti. Grafi, circuiti Euleriani e Hamiltoniani, alberi e grafi piani. Insiemi dotati di operazioni: semigruppi, monoidi, gruppi, anelli, campi. Permutazioni. Gruppi di simmetria. Classi laterali, sottogruppi normali, teorema di Lagrange. Algebra lineare: spazi vettoriali, vettori linearmente indipendenti, basi. Geometria analitica lineare nello spazio: equazione della retta e del piano. Applicazioni lineari e loro rappresentazione matriciale. Nucleo e immagine. Operatori lineari. Prodotto scalare. Prodooto vettoriale in 3D, interpretazione geometrica. Sistemi di equazioni lineari omogenei e non omogenei, rango di una matrice, teorema di Rouché-Capelli. Determinanti, regola di Cramer. Matrice inversa. Operatori hermitiani, unitari, normali. Autovalori e autovettori.
Numeri interi, divisione euclidea, massimo comun divisore, algoritmo di Euclide. Equazioni diofantee. Sistemi di congruenze e Teorema Cinese del Resto. Classi di resto modulo n. Il Teorema di Eulero. Il problema del logaritmo discreto. Calcolo del logaritmo discreto. Applicazioni alla crittografia.
Vettori nel piano e nello spazio tridimensionale ed estensione del concetto di vettore al caso di R^N. Definizione di matrice, somma tra matrici, prodotto tra uno scalare e una matrice, prodotto riga per colonna tra matrici. Definizione di matrice trasposta, matrice simmetrica, matrice inversa. Definizione di determinante per matrici quadrate e interpretazione geometrica. Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto tra vettori e applicazioni del determinante nel calcolo di prodotti vettoriali e misti. Rango di una matrice e applicazione del determinante nel calcolo del rango. Sistemi lineari, Teorema di Rouchè-Capelli, Regola di Cramer. Risoluzione di sistemi lineari con il Metodo di Eliminazione di Gauss, rette e piani nello spazio tridimensionale.
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Logica Proposizionale:
• Sintassi.
• Semantica: interpretazione, definizioni di soddisfacibile, contraddittorio, tautologia, conseguenza semantica e risultati connessi, equivalenza semantica, completezza funzionale e forma normali.
• Deduzione naturale: regole e dimostrazioni, correttezza, enunciato di completezza.
Logica dei Predicati:
• Sintassi: variabili libere e legate, sostituzione.
• Semantica: Interpretazione, definizioni di soddisfacibile, contraddittorio, tautologia, conseguenza semantica e risultati connessi.
Sets and basic arithmetics, GCD and MCM, Euclid's algorithm. Induction principle. Positional systems ina arbitrary basis. Complex numbers. Matrices, their addition and multiplication. Relations, equivalence classes, partitions. Modular arithmetics. Application to cryptography, RSA algorithm. Cardinality, binomial coefficients, infinite sets, orderings. Graphs, Eulerian and Hamiltonian circuits, trees and planar graphs. Sets with operations: semigroups, monoids, groups, rings, fields. Permutations. Symmetry groups. Lateral classes, normal subgroups, Lagrange's theorem. Linear algebra: vector spaces, linear independence, bases. Analytic geometry in 3D space: equation of the line and of the plane. Linear applications and their matrix representation.
Kernel and image. Linear operators. Scalar product. Vector product in 3D and its geometrical interpretation. Systems of linear equations, homogeneous and non-homogeneous, rank of a matrix, Rouché-Capelli's theorem. Determinants, Cramer's rule. Inverse matrix. Hermitian, unitary, normal operators.
Eigenvectors and eigenvalues.
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Propositional Logic:
• Syntax.
• Semantics: interpretation, definitions of satisfiable, contradictory, tautology, semantic consequence and related results, semantic equivalence, functional completeness and normal form.
• Natural deduction: rules and proofs, correctness, completeness statement.
Logic of Predicates:
• Syntax: free and bound variables, substitution.
• Semantics: Interpretation, definitions of satisfiable, contradictory, tautology, semantic consequence and related results.
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